double categoriesと組合せゲーム
## Trigger
ACT 2026でJules Hedgesと、double categories of games、open games、組合せゲーム、進化論的ゲームについて話した。
Julesによれば、gameをdouble categoryとして扱う既存研究には少なくとも次の二つがある。
- Jules Hedges, *Morphisms of Open Games*
lensをvertical directionに用い、equilibriumを扱えるdouble categoryを与える。Jules自身は、これは最初に実際にworkした構成ではあるが、よりよい定式化があるはずだと考えているらしい。
- Neil Ghani, Clemens Kupke, Alasdair Lambert, Fredrik Nordvall Forsberg, *A compositional treatment of iterated open games*
coalgebraを使ってiterated open gamesを扱い、repeated prisoner’s dilemmaを合成的に記述する。
一方で、open games in economicsとcombinatorial gamesは、現在の研究コミュニティではかなり別の対象として扱われている。JulesはNimやBouton’s theoremを知らなかった。この分断は、洞の *Games as recursive coalgebras* とJoyal strategiesをdouble-categoricalに結ぶ研究にとって明確な空白地帯である。
## Idea
組合せゲームに特化したdouble category / virtual equipmentを作る。
- objects: recursive coalgebraとしてのgame frames
- vertical arrows: option-preservingかつoption-liftingなcoalgebraic game morphisms
- horizontal arrows: Joyal型のstrategies
- 2-cells: coalgebraic mapsに沿ったstrategy simulations
- companions/conjoints: copycat-through-$f$
- horizontal composition: swivel-chair / interaction-and-hiding
既存のopen gamesのdouble categoryをそのまま特殊化するのではなく、
\[
\text{coalgebraic combinatorial game structure}
\quad+\quad
\text{Joyal strategy semantics}
\]
を直接統合する。
これはeconomic game theoryのopen gamesと、Conway–Joyal型combinatorial game theoryの間を埋める構成になる可能性がある。
## Relation to P-positions and game semantics
*The game semantics of game theory*（arXiv:1904.11287）では、combinatorial gameのP-positionを、複数のplayerが協力して外界と戦うゲームにおけるNash equilibriumとして理解する議論があるらしい。
この見方が正しければ、
\[
\text{P-position}
\]
は単なるrecursive outcome classではなく、
\[
\text{internal coalition vs. environment}
\]
というopen-game的意味論を持つ。
調べるべき問い：
- P-positionをcoalgebraic invariantとして記述できるか。
- そのP-position conditionは、strategy equipment内のequilibrium-like universal propertyになるか。
- Bouton’s theoremは、そのequilibrium predicateをNim-sumによって計算するintegration theoremと解釈できるか。
- Joyalのwinning strategyとopen gamesのbest-response/equilibriumを同一のdouble-categorical構造で比較できるか。
## Evolutionary games and compositionality
untyped lambda calculusだけを基礎にして進化論をモデル化する案について、Julesから
> 経済のゲームと生物のゲームをどうcompositeするのか
という批判があった。
これは妥当な問題である。単にすべてをlambda termとして符号化しても、それぞれの相互作用のinterfaceやcomposition lawは説明されない。
しかしDawkins的な観点では、economic agents、organisms、genes、memesは同じ世界の中で相互作用している。したがって必要なのは単一のuntyped syntaxではなく、異なるgame semanticsを接続できるheterogeneous compositional frameworkである可能性が高い。
候補：
- virtual double categories / equipments
- decorated or indexed open games
- coalgebraic game frames with varying strategy doctrines
- fibrations of game semantics
- double categories whose objects encode interfaces and whose horizontal arrows encode heterogeneous games
- cybernetic systems combining biological fitness, economic utility, and informational replication
## Goal
第一段階では、combinatorial gamesに対するvirtual equipmentを厳密に構成し、既存のopen gamesのdouble categoriesとの比較定理を与える。
第二段階では、P-position、Nash equilibrium、coalgebraic recursion、Bouton’s theoremを同じcompositional languageで関係づける。
最終的には、economic gamesとbiological gamesを同じsyntaxへ潰すのではなく、異なる意味論を保ったまま合成できる「進化論の構造的モデル」へ接続する。
## Personal context
これは洞の以下の研究を直接つなぐ。
- *Games as recursive coalgebras*
- Nim-sumをrecursive coalgebraのintegrationとして見る立場
- Joyal strategiesの圏
- double category / virtual equipment of combinatorial games
- Conway’s Game of Lifeや人工生命への関心
- 理性・生命・制度の創発をcompositionalに理解する目標
組合せゲーム側にはopen games研究者が十分入っておらず、open games側にはNimやBouton’s theoremが十分知られていない。この断絶自体が研究機会である。
## David Jaz Myersのcategorical systems theoryとの関係
David Jaz Myersのbook draft *Categorical Systems Theory* を参照する。Jules Hedgesとの議論では、Julesのdouble-categorical approachは、Myersのcategorical systems theoryにおけるdouble-categorical approachと関係しているらしい、という文脈も得られた。
したがって、この草稿は単なる一般的なsystems theoryの背景ではなく、Julesのopen gamesにおけるdouble-categorical構成が属する系譜と、組合せゲーム側で構成したいdouble categoryあるいはvirtual double categoryを比較するための直接的な参照点として読むべきである。ただし、両者の正確な技術的対応関係は未確認であり、今後、用いるlens、interface、horizontal/vertical morphism、compositionの対応を文献上で検証する必要がある。