着想 #216

SmoothSetのLSCはgermsのsheaf **Status.** unchecked. ## Trigger Conley index を categorical/topos theoretic に読む計画の中で、smooth sets の local state classifier が何になるかを計算したい。文脈は、Hora の local state classifier と discrete dynamical systems の quotient topos の話を、topological な topoi、特に light condensed sets, Johnstone's topological topos, topos of smooth sets へ拡張すること。 ## Idea \[ \SmoothSet=\Sh(\Eucl) \] の local state classifier は \[ \Xi_{\SmoothSet} \simeq a\Xi_0, \qquad \Xi_0(U)=\CoSub_{\SmoothSet}(yU) \cong \Quot_{\SmoothSet}(yU) \cong \EqRel_{\SmoothSet}(yU). \] ここで \(a\) は sheafification。したがって \(\Xi_{\SmoothSet}\) は Euclidean test domain の local quotient germ の sheaf と解釈できる。 localic topos では representable が subterminal なので \(\Xi\simeq 1\) になる。一方、\(\SmoothSet\) では \[ y\mathbb R(T)=C^\infty(T,\mathbb R) \] が多くの plots を持つため、\(\Xi_{\SmoothSet}\) は非自明。例えば \[ y\mathbb R\twoheadrightarrow y\mathbb R, \qquad y\mathbb R\twoheadrightarrow 1 \] は異なる local states を与える。ordinary point では見えず、 \[ \Xi_{\SmoothSet}(\mathbb R^0)\cong 1 \] だが、interval や disk 上の plots では非自明になる。 canonical map \[ \xi_X:X\to \Xi_{\SmoothSet} \] は、plot \[ x\in X(U), \qquad \ulcorner x\urcorner:yU\to X \] に対し、 \[ \xi_X(x)= \bigl[ yU\twoheadrightarrow \operatorname{im}(\ulcorner x\urcorner) \bigr] \] を返す。同値関係としては \[ R_x(T) = \{(a,b:T\to U)\mid X(a)(x)=X(b)(x)\in X(T)\}. \] 特に \(X=yM\) で \(x:U\to M\) が smooth map なら、 \[ R_x(T) = \{(a,b:T\to U)\mid x\circ a=x\circ b\}. \] Conley index への応用では、smooth index pair \[ L\hookrightarrow N \] の exit-collapse quotient \[ q:N\twoheadrightarrow N/L \] に対し、 \[ N\xrightarrow{q}N/L\xrightarrow{\xi_{N/L}}\Xi_{\SmoothSet} \] を付ける。この composite は、plot \(p:yU\to N\) に対して \[ \Ker\bigl( yU\xrightarrow{p}N\xrightarrow{q}N/L \bigr) \] を返す。つまり、exit set の collapse が \(U\)-shaped family of states をどう同一視するかを記録する。 collapse relation を形式的に \[ R_L=\Delta_N\cup(L\times L) \] と書けば、plot \(p:yU\to N\) 上の local state は \[ p^*R_L \] である。\(N\setminus L\) の内部では diagonal、\(L\) の内部では total collapse、境界では boundary-collapse singularity になる。 したがって、smooth/topological topos での refined Conley index は \[ \text{Conley index} = \text{exit-collapse quotient} + \text{local-state profile} \] と読める。localic topos では \(\Xi=1\) なのでこの profile は消えるが、smooth/topological test-object topos では quotient の singularity data が残る。 ## Goal Conley index を単なる pointed homotopy type \(N/L\) としてだけでなく、exit-collapse quotient とその local-state profile \[ (N/L,\; N\to N/L\to \Xi_{\SmoothSet}) \] として refine する。これにより、位相力学系・smooth dynamics の Conley index を、local state classifier と quotient topos の文脈へ接続する。 ## Personal context Hora の local state classifier と discrete dynamical systems の quotient topos の話を、topological/smooth な topoi へ拡張するための計算。localic な場合には \(\Xi=1\) で情報が消えるが、smooth sets では non-localic なので quotient singularity data が残るはず、という期待がある。 ## Unchecked points - \(\SmoothSet=\Sh(\Eucl)\) の site choice に依存する可能性を確認する。 - \(\CoSub(yU)\cong\Quot(yU)\cong\EqRel(yU)\) の同一視を、effective quotients の存在として明示的に確認する。 - sheafification 後に identity quotient と total collapse quotient が確実に区別されることを lemma 化する。 - Diff/Chen spaces そのものではなく ambient Grothendieck topos の LSC を計算している、という点を明記する。 - continuation invariance が local-state profile 付きでどこまで保たれるかは未確認。 ## Notion からの追記（2026-08-16） Notion「研究テーマ」DBの `LSCと特異点`（優先度★★★★、進行状況 Not started、coresearcher 欄は空）の本文を、洞の判断でこの瓶へ移す。 > 豊田くんとの話．orbifoldのLSCって特異点を見てない？ 本瓶は SmoothSet の \(\Xi\) を local quotient germs の sheaf として見るが、orbifold の場合にその germs が特異点の情報を担っているのではないか、という見立てである。orbifold は局所的に有限群による商として書けるため、local quotient germs はまさにその商のデータにあたる。 （Notion 本文の「豊田くん」は、他ページの coresearcher 欄にある `Toyota` と同一人物と読み、その表記で discussed_with へ入れた。）