問い #237

Language-class closure operators ## Trigger Sin'ya Ryoma との議論にある、言語クラス上の closure operator を一つの研究対象として整理する。Kobin 内を `Sin'ya Ryoma`、`closure operator`、`language class` などで検索したが、対応する既存瓶は見つからなかったため新規に保存する。 ## Idea 有限 alphabet \(A\) を固定し、言語クラス全体の完備束 \[ \mathbf{LangClass}(A):=\mathcal P\bigl(\mathcal P(A^*)\bigr) \] または regular languages に制限した部分束を考える。 Boolean closure、左右 quotient を加えた Boolean closure、star-free closure、polynomial closure、inverse morphism closure、substitution closure などは、定義域と生成操作を固定すれば、いずれも言語クラス上の extensive・monotone・idempotent な closure operator として扱える。 特に、 \[ \operatorname{QBool},\qquad \operatorname{SF} \] を個別の構成としてではなく、closure operators の束・合成モノイドの元として研究する。主な問いは次である。 - 二つの closure operator はいつ可換するか。 - 合成 \(c\circ d\) の fixed points は、\(c\) と \(d\) の fixed points からどう記述されるか。 - closure operators 間の順序、meet、join、distributive law は、既知の言語クラス演算をどう統一するか。 - algebraic closure operator、finitary closure、Scott-continuity などの有限性条件は、正規言語の有限モノイド認識とどう対応するか。 - local Eilenberg correspondence や profinite equations の側で、これらの closure operator はどの操作に移るか。 - *Topoi of automata II* の言語クラスと hyperconnected quotient の Galois connection により、言語クラス側の closure operator を quotient-topos 側の closure/hull operator として移送できるか。 ## Goal Sin'ya Ryoma との共同研究候補として、標準的な言語クラス演算を closure operator の一般論に載せる。 最初の具体的目標は、 1. ambient lattice と各 closure operator の正確な定義域を固定する。 2. ​`Bool`、`QBool`、`SF`、polynomial closure の順序関係と合成則を整理する。 3. fixed-point latticesを local varieties・local pseudovarieties・profinite monoids と比較する。 4. hyperconnected quotients の完備束上に対応する closure operator を構成する。 ## Personal context 個別の言語クラスを列挙するのではなく、「言語クラスを生成する操作そのもの」を研究対象にする。これは generalized star height、concatenation hierarchies、local Eilenberg theory、および *Topoi of automata II* の syntactic-topos 構成を同じ束論的枠組みに置くための基盤となる。