文脈商のGalois双対
## Trigger
[[ynue2x]] の language-class closure operators，[[tu4n5d]] の factorization/Galois 問題，[[f98jzd]] の Bouton monoid を，「全 context で区別できないものを同一視する」という一つの普遍構成へまとめた．
## Result 1：普遍文脈商
monoid \(M\) と写像 \(v:M\to A\) に対し
\[
m\equiv_v n
\iff
\forall p,q\in M,\quad v(pmq)=v(pnq)
\]
と定める．すると \(\equiv_v\) は monoid congruence であり，
\[
M_v:=M/{\equiv_v}
\]
は \(v\) が factor する最小の quotient monoid である．
実際，\(m\equiv_v n\) なら任意の \(r,p,q\) に対し
\[
v(p(rm)q)=v((pr)mq)=v((pr)nq)=v(p(rn)q),
\]
従って左積と右積に安定である．また \(v=a\pi\) が quotient \(\pi:M\twoheadrightarrow Q\) を通じて factor し，\(\pi(m)=\pi(n)\) なら，すべての \(p,q\) について \(v(pmq)=v(pnq)\) である．ゆえに \(\ker\pi\subseteq\equiv_v\) で，\(\pi\) は \(M_v\) を通じて一意に factor する．
## Result 2：Contextual Galois duality
\(\operatorname{Cong}(M)\) を monoid congruences の束とする．\(\operatorname{BoolDer}(M)\) を，\(\mathcal P(M)\) の complete Boolean subalgebras で，すべての two-sided derivatives
\[
p^{-1}Lq^{-1}:=\{m\in M\mid pmq\in L\}
\]
に閉じるものの束とする．このとき反同型
\[
\boxed{\operatorname{Cong}(M)^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{BoolDer}(M)}
\]
がある．
対応は
\[
\theta\longmapsto
\mathcal B_\theta:=\{q_\theta^{-1}(S)\mid S\subseteq M/\theta\}
\]
および
\[
m\mathrel{\theta_{\mathcal B}}n
\iff
\forall L\in\mathcal B,\quad(m\in L\Longleftrightarrow n\in L)
\]
で与えられる．
## Proof
\(\mathcal B_\theta\) は inverse image により complete Boolean algebra であり，\(\theta\) が congruence なので derivatives に閉じる．
逆に \(m\theta_{\mathcal B}n\) なら，任意の \(p,q,L\) に対し
\[
pmq\in L
\iff m\in p^{-1}Lq^{-1}
\iff n\in p^{-1}Lq^{-1}
\iff pnq\in L.
\]
従って \(\theta_{\mathcal B}\) は congruence である．
\(\theta_{\mathcal B_\theta}=\theta\) は quotient の singleton subsets が異なる classes を分離することから従う．一方，complete Boolean subalgebra \(\mathcal B\subseteq\mathcal P(M)\) では
\[
[m]_{\mathcal B}
=
\bigcap_{m\in L\in\mathcal B}L
\cap
\bigcap_{m\notin L\in\mathcal B}(M\setminus L)
\]
が存在し，\(\theta_{\mathcal B}\)-class になる．\(\mathcal B\) は任意和に閉じるので classes の任意の union をすべて含み，\(\mathcal B_{\theta_{\mathcal B}}=\mathcal B\) となる．
## Interpretation
syntactic monoid，Bouton monoid，marked observer，言語クラスの closure は，いずれも
\[
\text{全 context による観測}
\quad\leftrightarrow\quad
\text{最小の congruence quotient}
\]
という同じ Galois mechanism の具体例である．
## Status
定理は自己完結している．complete Boolean closure は通常の regular-language variety より強いため，finitary/algebraic 版との関係と文献上の既知性は未監査である．