スケッチ #292

文脈商のGalois双対 ## Trigger [[ynue2x]] の language-class closure operators，[[tu4n5d]] の factorization/Galois 問題，[[f98jzd]] の Bouton monoid を，「全 context で区別できないものを同一視する」という一つの普遍構成へまとめた． ## Result 1：普遍文脈商 monoid \(M\) と写像 \(v:M\to A\) に対し \[ m\equiv_v n \iff \forall p,q\in M,\quad v(pmq)=v(pnq) \] と定める．すると \(\equiv_v\) は monoid congruence であり， \[ M_v:=M/{\equiv_v} \] は \(v\) が factor する最小の quotient monoid である． 実際，\(m\equiv_v n\) なら任意の \(r,p,q\) に対し \[ v(p(rm)q)=v((pr)mq)=v((pr)nq)=v(p(rn)q), \] 従って左積と右積に安定である．また \(v=a\pi\) が quotient \(\pi:M\twoheadrightarrow Q\) を通じて factor し，\(\pi(m)=\pi(n)\) なら，すべての \(p,q\) について \(v(pmq)=v(pnq)\) である．ゆえに \(\ker\pi\subseteq\equiv_v\) で，\(\pi\) は \(M_v\) を通じて一意に factor する． ## Result 2：Contextual Galois duality \(\operatorname{Cong}(M)\) を monoid congruences の束とする．\(\operatorname{BoolDer}(M)\) を，\(\mathcal P(M)\) の complete Boolean subalgebras で，すべての two-sided derivatives \[ p^{-1}Lq^{-1}:=\{m\in M\mid pmq\in L\} \] に閉じるものの束とする．このとき反同型 \[ \boxed{\operatorname{Cong}(M)^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{BoolDer}(M)} \] がある． 対応は \[ \theta\longmapsto \mathcal B_\theta:=\{q_\theta^{-1}(S)\mid S\subseteq M/\theta\} \] および \[ m\mathrel{\theta_{\mathcal B}}n \iff \forall L\in\mathcal B,\quad(m\in L\Longleftrightarrow n\in L) \] で与えられる． ## Proof \(\mathcal B_\theta\) は inverse image により complete Boolean algebra であり，\(\theta\) が congruence なので derivatives に閉じる． 逆に \(m\theta_{\mathcal B}n\) なら，任意の \(p,q,L\) に対し \[ pmq\in L \iff m\in p^{-1}Lq^{-1} \iff n\in p^{-1}Lq^{-1} \iff pnq\in L. \] 従って \(\theta_{\mathcal B}\) は congruence である． \(\theta_{\mathcal B_\theta}=\theta\) は quotient の singleton subsets が異なる classes を分離することから従う．一方，complete Boolean subalgebra \(\mathcal B\subseteq\mathcal P(M)\) では \[ [m]_{\mathcal B} = \bigcap_{m\in L\in\mathcal B}L \cap \bigcap_{m\notin L\in\mathcal B}(M\setminus L) \] が存在し，\(\theta_{\mathcal B}\)-class になる．\(\mathcal B\) は任意和に閉じるので classes の任意の union をすべて含み，\(\mathcal B_{\theta_{\mathcal B}}=\mathcal B\) となる． ## Interpretation syntactic monoid，Bouton monoid，marked observer，言語クラスの closure は，いずれも \[ \text{全 context による観測} \quad\leftrightarrow\quad \text{最小の congruence quotient} \] という同じ Galois mechanism の具体例である． ## Status 定理は自己完結している．complete Boolean closure は通常の regular-language variety より強いため，finitary/algebraic 版との関係と文献上の既知性は未監査である．