問い #254

言語のfactorizationはGaloisか ## Trigger Notion「研究テーマ」DBの `Topoi of automata I` ページ（arXiv:2411.06358 の作業メモ）に残っていたメモから瓶化した。原文は「Star-free language と group languageに分解するの，atmtのtoposのSetへの射の分解を考える．これってGalois theoryなの？」。 既存の [[p7g4vm]]（言語クラスから prodiscrete Galois monoid を再構成する）と [[h6q9vx]]（hyperconnected quotients と language classes の対応）はいずれも「言語クラスから monoid へ」という向きであり、分解そのものを geometric morphism の factorization として読む視点は入っていない。 ## Idea regular language は star-free part と group part へ分けられる。Krohn--Rhodes の分解定理と、Schützenberger による star-free = aperiodic の特徴づけがその原型である。この分け方を、automata の topos から \(\mathbf{Set}\) への geometric morphism の factorization として読めるかを問う。 具体的には、\(\Sigma\text{-}\mathbf{Set}\)（あるいは finite-orbit topos）から \(\mathbf{Set}\) への射を \[ \mathcal E \longrightarrow \mathcal E' \longrightarrow \mathbf{Set} \] と中間の topos を経由させ、一方の段が group part、他方が star-free part に対応するような factorization system が存在するかを問う。候補としては hyperconnected--localic factorization、connected--étale factorization がある。 さらに、この factorization が Galois theory——中間の topos が Galois monoid の作用の topos として記述され、その部分構造と中間段が対応する構造——を成すかを問う。 ## Goal star-free / group の切り分けに対応する factorization system を topos の側で同定する。そのうえで、中間の topos と Galois monoid の部分構造が対応する（Galois correspondence が成り立つ）かを判定する。成り立つなら、Krohn--Rhodes 型の定理を topos の factorization の言葉で述べ直せる。 ## Personal context Notion の別ページ `Krohn-Rhodes theory 理解したい`（優先度★★★★、Sin'ya さんとの共同方向）と直接つながる。[[p7g4vm]] が「言語クラスから monoid を作る」向きなのに対し、こちらは「既にある切り分けを topos の射の構造として読む」向きであり、両者は同じ対応の裏表になりうる。