スケッチ #284

ACF₀のBooleanization ## Trigger \(\mathrm{ACF}_0\) の classifying topos を Booleanization すると，有理数体の絶対 Galois 群が現れるのではないか，という会話から得た観察． ## Known result \[ \mathcal E_0:=\mathbf{Set}[\mathrm{ACF}_0] \] とし，\(\mathrm{ACF}_0\) に「すべての元は \(\mathbb Q\) 上代数的」という infinitary geometric axiom \[ \top\vdash_x \bigvee_{\substack{f\in\mathbb Z[X]\\ \deg f>0}} f(x)=0 \tag{Alg}_{\mathbb Q} \] を加えた理論を \(\mathbb T_{\overline{\mathbb Q}}\) とする．すると \[ \operatorname{Sh}_{\neg\neg}(\mathcal E_0) \simeq \mathbf{Set}[\mathbb T_{\overline{\mathbb Q}}] \simeq \mathbf{Cont}\!\left(G_{\mathbb Q}\right), \qquad G_{\mathbb Q}=\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q), \] ここで \(G_{\mathbb Q}\) には Krull topology を入れる．したがって正確には「Booleanization が群そのものになる」のではなく，**絶対 Galois 群の連続作用の classifying topos** になる．\(\overline{\mathbb Q}\) に対応する点を選べば，その点の automorphism group として \(G_{\mathbb Q}\) が復元される（点の選択を忘れると inner automorphism の不定性が残る）． ## Why this is the Booleanization Generic algebraically closed field \(U\) の部分対象 \[ \operatorname{Alg}_{\mathbb Q}(U) = \bigvee_{f\in\mathbb Z[X],\,\deg f>0}\{x\mid f(x)=0\} \hookrightarrow U \] は proper だが dense である．実際，任意の nonempty coherent/constructible condition over \(\mathbb Q\) は \(\overline{\mathbb Q}\) に解を持つ．したがって Booleanization ではこの dense mono が同型になり，\((\mathrm{Alg}_{\mathbb Q})\) が強制される．一方，得られる理論は atomic で，\(\mathbf{Set}\)-model は同型を除いて \(\overline{\mathbb Q}\) のみ．Topological Galois theory により，その classifying topos は \(\mathbf{Cont}(G_{\mathbb Q})\) となる． ## Literature status これは既知．Caramello--Johnstone, *De Morgan's law and the Theory of Fields* は，固定正標数について「ACF に no-transcendentals axiom を加えたものが Booleanization」であることを明示し，characteristic \(0\) でも同じ結果が成り立つと述べている（証明詳細は省略）．また Wrigley の topological groupoid / topological Galois theory の議論は，一般の体 \(K\) に対する algebraic extensions と \(\overline K\) の ultrahomogeneity を扱い，対応する atomic theory を automorphism group/groupoid から表現している． - Olivia Caramello and Peter Johnstone, *De Morgan's law and the Theory of Fields*, arXiv:0808.1972: https://arxiv.org/abs/0808.1972 - Joshua Wrigley, *On topological groupoids that represent theories*, arXiv:2306.16331: https://arxiv.org/abs/2306.16331 ## Slogan / significance > \(\mathrm{ACF}_0\) の generic transcendence を \(\neg\neg\)-sheafification で潰すと，残る対称性が \(G_{\mathbb Q}\) である． これは \[ \text{model theory of fields} \longrightarrow \text{dense subtopos / Booleanization} \longrightarrow \text{absolute Galois symmetry} \] という非常に綺麗な橋であり，classifying topos の Booleanization を「不定な超越方向を除去し，代数的対称性だけを残す操作」と読む代表例になる．