スケッチ #287

有限自由atlas ## Trigger Paper II で classifying-topos cohomology と Lawvere-theory cohomology を単に対比したところ，洞から「有限生成 free algebra だけを見る，その間の injection だけを見る，という既存構成があるはず」と指摘された．そこで，finitary algebraic theory の有限自由部分を中心に文献と構成を再編した． ## Result 1：Lawvere theory は generic model の有限冪そのもの $\mathbb T$ を finitary algebraic theory， \[ \mathcal A_{\mathbb T}=\operatorname{fp}(\mathbb T\text{-Alg}),\qquad \mathcal F_{\mathbb T}=\{F_n\mid n<\omega\}\subseteq\mathcal A_{\mathbb T}, \qquad \mathcal L_{\mathbb T}=\mathcal F_{\mathbb T}^{\mathrm{op}} \] とする．classifying topos は \[ \mathcal E_{\mathbb T}=[\mathcal A_{\mathbb T},\mathbf{Set}] \] で，generic model $U_{\mathbb T}$ は underlying-set functor である．自由性から \[ U_{\mathbb T}^{n}\cong\mathcal A_{\mathbb T}(F_n,-). \] 従って Yoneda により \[ \mathcal L_{\mathbb T}\xrightarrow{\sim} \operatorname{Pow}_{\mathrm{fin}}(U_{\mathbb T})\subseteq\mathcal E_{\mathbb T}, \qquad n\longmapsto U_{\mathbb T}^{n} \] は有限積を保つ fully faithful functor である．つまり Lawvere theory は classifying topos の外部にある別の syntax ではなく，generic model の有限冪とその definable maps からなる full subcategory として内部に埋め込まれている． ## Result 2：finitely presented models は有限自由 atlas の finite-colimit completion 任意の finitely presented $\mathbb T$-algebra は有限 presentation から \[ F_r\rightrightarrows F_n\longrightarrow A \] という coequalizer で書ける．したがって $\mathcal A_{\mathbb T}$ は $\mathcal F_{\mathbb T}$ の finite-colimit closure である．semantic classifying topos は有限自由座標に relations と quotients を付加した completion と見られる． ## Result 3：同じ向きで有限自由だけに制限しても cohomology は消えたまま 包含 $i:\mathcal F_{\mathbb T}\hookrightarrow\mathcal A_{\mathbb T}$ は precomposition \[ i^*:[\mathcal A_{\mathbb T},\mathbf{Set}]\to[\mathcal F_{\mathbb T},\mathbf{Set}] \] を与え，これは essential geometric morphism の inverse image である．しかし $F_0$ は両 indexing category で initial なので，両 topos の global sections は $F_0$ での evaluation となり exact．従って「有限自由 algebra だけ見る」だけでは Quillen cohomology は現れない．必要なのは 1. arrows を反転して substitution category $\mathcal L_{\mathbb T}$ にすること， 2. objects ではなく definable arrows とその two-sided factorizations を見ること， である． ## Result 4：Quillen cohomology は有限冪 arrow-topos の topos cohomology $\operatorname{Fact}(\mathcal L)$ を factorization category とし，cartesian natural system $D:\operatorname{Fact}(\mathcal L)\to\mathbf{Ab}$ を取る．Jibladze--Pirashvili と Baues--Wirsching/Thomason comparison により \[ H_Q^0(\mathcal L;D)\cong\operatorname{Der}(\mathcal L;D), \] \[ H_Q^n(\mathcal L;D) \cong H_{BW}^{n+1}(\mathcal L;D) \cong H^{n+1}([\operatorname{Fact}(\mathcal L),\mathbf{Set}];D) \qquad(n>0). \] さらに simplex category $\Delta/\mathcal L$ と composite functor $\nu:\Delta/\mathcal L\to\operatorname{Fact}(\mathcal L)$ を用いて \[ H_Q^n(\mathcal L;D) \cong H^{n+1}([\Delta/\mathcal L,\mathbf{Set}];\nu^*D). \] したがって Quillen cohomology は実際に topos cohomology である．ただし ambient classifying topos $\mathcal E_{\mathbb T}$ ではなく，generic model の有限冪間の definable maps と factorization squares から作る arrow topos の cohomology である． ## Injection / symmetry layers 最大 subgroupoid \[ \mathcal G_{\mathbb T}=\mathcal F_{\mathbb T}^{\simeq} \] から Quillen bracket/homogeneous category $U\mathcal G_{\mathbb T}$ を作る．射 $F_m\to F_n$ は complement $F_r$ と同型 \[ F_r\amalg F_m\xrightarrow{\sim}F_n \] で表され，すなわち chosen complement を備えた split injection である．反対圏と generic-model embedding では \[ U^n\cong U^r\times U^m\longrightarrow U^m \] という split projection となる．論理的には fresh variables の追加，weakening，context extension を表す．一般の injection ではなく free-factor complement を持つ split injection である点が重要． この層は Randal-Williams--Wahl の homological stability framework を与える．さらに isomorphism のみを残した $\mathcal G_{\mathbb T}$ の group completion は Bohmann--Szymik の Lawvere theory の algebraic $K$-theory \[ K(\mathbb T)=K(\mathcal G_{\mathbb T}) \] で，$\operatorname{Aut}(F_n)$ の stable homology を記録する．generic-model 側では $U^n\cong U^n$ という invertible definable coordinate changes である． ## Ikebuchi との接続 Ikebuchi の normalized bar / Anick resolution は Lawvere theory 内の composable substitutions の strings と Kähler differential module $\Omega_{\mathcal L}$ から作られる．上の比較により，これは simplex/factorization topos の standard resolution を algebraic discrete Morse theory で collapse している，という topos-theoretic 解釈を持つ．これは Ikebuchi 自身の定式化ではなく，既知の比較定理を介した解釈である． ## Unified picture \[ \begin{array}{c|c|c} \text{layer}&\text{retained morphisms}&\text{derived invariant}\\\hline \mathcal A_{\mathbb T}&\text{all maps of finitely presented models}&R\Gamma(\mathcal E_{\mathbb T};-)\\ \operatorname{Fact}(\mathcal L_{\mathbb T})&\text{all substitutions + two-sided factorizations}&\text{BW/Quillen cohomology}\\ U\mathcal G_{\mathbb T}&\text{split injections with complements}&\text{homological stability}\\ \mathcal G_{\mathbb T}&\text{isomorphisms only}&K\text{-theory} \end{array} \] 結論は「二つの derived geometry」ではなく， \[ \boxed{\text{one finite-free atlas, several derived geometries}} \] である． ## Further questions - analytic monad の Lawvere theory にある active--inert factorization を使い，BW complex を structural/inert と operational/active の二方向へ濾過できるか． - inclusion $U\mathcal G_{\mathbb T}^{op}\to\mathcal L_{\mathbb T}$ に対する Baues--Wirsching spectral sequence で，homological stability と equational syzygy を同じ系列に置けるか． - $\mathcal F_{\mathbb T}\to\mathcal A_{\mathbb T}$ の finite-colimit completion と $\operatorname{Fact}(\mathcal L_{\mathbb T})$ の間に，generic model から直接定義される relative geometric morphism があるか．