理論コホモロジー計算
## Trigger
幾何的理論 $\mathbb T$ の classifying topos の $H^0,H^1$ と Euler characteristic を理論の言葉で記述する議論を，具体計算・論理的 obstruction・Mirai Ikebuchi の仕事との比較まで進めた．親瓶 `sygmu8` の計算部分を検算し，特に「algebraic theory」と「torsor theory」，および「全体の体論」とその Boolean quotient を区別して記録する．
## 0. 二種類の cohomology
幾何的理論 $\mathbb T$ と $A\in\mathbf{Ab}(\mathbf{Set}[\mathbb T])$ に対する classifying-topos cohomology は
\[
H^n_{\mathrm{top}}(\mathbb T;A):=R^n\Gamma_{\mathbf{Set}[\mathbb T]}(A).
\]
これは torsor，gerbe，descent，definable global choice/lift の obstruction を測る．
一方，Lawvere theory $\mathbf L$ に対する Ikebuchi--Jibladze--Pirashvili 型の cohomology/homology は，enveloping ringoid $\mathcal U_{\mathbf L}$ と Kähler differentials $\Omega_{\mathbf L}$ を用いる
\[
H^n_Q(\mathbf L;D)\simeq \operatorname{Ext}^n_{\mathcal U_{\mathbf L}}(\Omega_{\mathbf L},D),
\qquad
H_n(\mathbf L;Z_d)=\operatorname{Tor}^{\mathcal U_{\mathbf L}}_n(Z_d,\Omega_{\mathbf L}).
\]
これは presentation，axiom 数，rewriting syzygy，deformation を測る．両者は同じではない．
## 1. Algebraic theories では topoi 側が消える
$\mathbb T$ を finitary algebraic theory（より一般に cartesian theory）とする．これは presheaf type で
\[
\mathbf{Set}[\mathbb T]\simeq
[\operatorname{fp}\mathbb T\text{-}\mathbf{Mod}(\mathbf{Set}),\mathbf{Set}].
\]
$\mathcal A:=\operatorname{fp}\mathbb T\text{-}\mathbf{Mod}(\mathbf{Set})$ は free model on $0$ generators $F_{\mathbb T}(0)$ を initial object として持つ．従って
\[
1\cong \mathcal A(F_{\mathbb T}(0),-)
\]
は representable かつ projective であり，任意の abelian object $A$ に対し
\[
\Gamma(A)\cong A(F_{\mathbb T}(0)),\qquad
H^n_{\mathrm{top}}(\mathbb T;A)=0\quad(n>0).
\]
具体的には，groups では $F(0)=1$，unital rings では $F(0)=\mathbb Z$，$R$-modules では $F(0)=0$ である．
重要な対比：$C_m$-actions の理論は algebraic なので高次 cohomology は消えるが，$C_m$-torsors の理論はその geometric quotient であり，以下のように非零になる．
## 2. $\mathbb Z$ 係数：cyclic torsor theory
$\mathbb T^{\mathrm{tor}}_{C_m}$ を，sort $P$ と unary operation $\sigma$ を持ち，$\sigma^m=1$，inhabited，free，transitive を課す幾何的理論とする．その classifying topos は
\[
\mathbf{Set}[\mathbb T^{\mathrm{tor}}_{C_m}]\simeq BC_m=C_m\text{-}\mathbf{Set}.
\]
periodic resolution
\[
\cdots\xrightarrow{N}\mathbb Z[C_m]
\xrightarrow{\sigma-1}\mathbb Z[C_m]
\xrightarrow{N}\mathbb Z[C_m]
\xrightarrow{\sigma-1}\mathbb Z[C_m]\to\mathbb Z\to0,
\quad N=1+\sigma+\cdots+\sigma^{m-1},
\]
に $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z[C_m]}(-,\mathbb Z)$ を施すと differential は $0,m,0,m,\dots$ となる．よって
\[
H^n(\mathbb T^{\mathrm{tor}}_{C_m};\mathbb Z)=
\begin{cases}
\mathbb Z & n=0,\\
0 & n\text{ odd},\\
\mathbb Z/m & n>0\text{ even}.
\end{cases}
\]
特に
\[
H^2(\mathbb T^{\mathrm{tor}}_{C_m};\mathbb Z)=\mathbb Z/m\neq0.
\]
これは $H^2$ が非自明な，極めて初等的な幾何的理論の例である．
## 3. 長完全列：Bockstein と lift obstruction
短完全列
\[
0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times m}\mathbb Z\to\mathbb Z/m\to0
\]
から
\[
\beta:H^1(BC_m;\mathbb Z/m)\xrightarrow{\sim}H^2(BC_m;\mathbb Z)
\]
を得る．左辺は
\[
H^1(C_m;\mathbb Z/m)=\operatorname{Hom}(C_m,\mathbb Z/m)\cong\mathbb Z/m.
\]
その generator は generic $C_m$-torsor．$\beta$ は，この torsor を $\mathbb Z\twoheadrightarrow C_m$ に沿って $\mathbb Z$-torsor へ lift する gerbe の class である．従って「局所的 lift は存在するが，parameter-free definable な大域的 lift は存在しない」という論理的事実が Morita-invariant に証明される．
より一般に有限群 $G$ について $0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ と $H^{>0}(G;\mathbb Q)=0$ より
\[
H^2(G;\mathbb Z)\cong H^1(G;\mathbb Q/\mathbb Z)
\cong\operatorname{Hom}(G_{\mathrm{ab}},\mathbb Q/\mathbb Z).
\]
例えば $H^2(S_3;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2$．
## 4. LHS spectral sequence：$S_3$-torsor theory
群拡大
\[
1\to C_3\to S_3\to C_2\to1
\]
に対する Lyndon--Hochschild--Serre spectral sequence
\[
E_2^{p,q}=H^p(C_2;H^q(C_3;\mathbb Z))\Longrightarrow H^{p+q}(S_3;\mathbb Z)
\]
を用いる．$H^{2k}(C_3;\mathbb Z)=\mathbb Z/3$，odd degree は $0$．$C_2$ の conjugation は inversion であり，degree $2k$ 上では $(-1)^k$ として作用する．また $2$ は $\mathbb Z/3$ 上可逆なので $p>0,q>0$ の項は消える．従って spectral sequence は collapse し
\[
H^n(S_3;\mathbb Z)=
\begin{cases}
\mathbb Z & n=0,\\
0 & n\text{ odd},\\
\mathbb Z/2 & n\equiv2\pmod4,\\
\mathbb Z/6 & n>0,\ n\equiv0\pmod4.
\end{cases}
\]
特に
\[
H^2=\mathbb Z/2,\qquad H^3=0,\qquad H^4=\mathbb Z/6.
\]
これは $S_3$-torsor の幾何的理論の非自明な完全計算である．
## 5. Ikebuchi の最近の仕事との関係
Mirai Ikebuchi の 2026 年 preprint *Anick Resolution for Lawvere Theories from Algebraic Discrete Morse Theory*（arXiv:2603.28382）は，normalized bar resolution を algebraic discrete Morse theory で collapse し，Lawvere theory の Anick resolution を高次元まで構成する．
presentation $(\Sigma,E)$ に対する homological inequality
\[
\#E-\#\Sigma+1\ge
s(H_2(\mathbf L;Z_d))-\operatorname{rank}H_1(\mathbf L;Z_d)+\operatorname{rank}H_0(\mathbf L;Z_d)
\]
を用い，group signature
\[
\Sigma_0=\{\_\cdot\_,e,\_^{-1}\}
\]
について任意の equivalent equation set $E$ が
\[
\#E\ge\#\Sigma_0-1=2
\]
を満たすことを得る．従ってこの signature では groups を single equation で axiomatize できない．これは従来 group-specific だった論理学的 no-go を homology から得る例である．
2025 年の *Homological Invariants of Higher-Order Equational Theories*（arXiv:2505.10149）はこの axiom-number obstruction を simply typed $\lambda$-calculus with products and unit，すなわち CCC presentations へ拡張する．さらに *Cohomology of Small Cartesian Closed Categories*（arXiv:2510.00488）は
\[
H_Q^n(C;D)\cong H_{BW}^{n+1}(C;D)\quad(n>0)
\]
を示し，Lawvere theory に対する Jibladze--Pirashvili の証明中の不正確な proposition を修正している．
結論として，algebraic $\mathbb T$ では
\[
H^{>0}_{\mathrm{top}}(\mathbb T;A)=0
\]
だが，$H_*^{\mathrm{Lawvere}}(\mathbf L;-)$ は非自明で，axiom の最小数を検出する．これは「models の descent geometry」と「syntax/presentation の derived geometry」という二種類の geometry の明確な分離である．
## 6. 体論：正確に計算できる Boolean quotient
全ての fields の coherent theory $\mathbb T_{\mathrm{Fld}}$ 自体については，ここでは integral cohomology の完全計算を得ていない．Caramello--Johnstone は，その classifying topos が De Morgan でなく，DeMorganization が「nonzero characteristic で prime field 上 algebraic な fields」を classify することを示した．
固定した prime $p$ に対し
\[
\mathbb T_{\overline{\mathbb F}_p}
=
\{\text{algebraically closed field of char. }p\}
+
\left(x\vdash_x\bigvee_{n\ge1}x^{p^n}=x\right)
\]
を考える．Set-model は $\overline{\mathbb F}_p$ 一つ（同型を除く）で，classifying topos は
\[
\mathbf{Set}[\mathbb T_{\overline{\mathbb F}_p}]
\simeq\operatorname{Cont}(G_p),
\qquad
G_p=\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F}_p/\mathbb F_p)\cong\widehat{\mathbb Z}.
\]
$0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$，$H^{>0}_{\mathrm{cont}}(\widehat{\mathbb Z};\mathbb Q)=0$，torsion coefficients に対する $\mathrm{cd}(\widehat{\mathbb Z})=1$ を使うと
\[
H^n(\mathbb T_{\overline{\mathbb F}_p};\mathbb Z)=
\begin{cases}
\mathbb Z & n=0,\\
0 & n=1,\\
\mathbb Q/\mathbb Z & n=2,\\
0 & n>2.
\end{cases}
\]
ここで
\[
H^2\cong H^1(\widehat{\mathbb Z};\mathbb Q/\mathbb Z)
=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\widehat{\mathbb Z},\mathbb Q/\mathbb Z)
\cong\mathbb Q/\mathbb Z.
\]
Caramello--Johnstone の Booleanization 全体は，prime $p$ ごとのこれら $\operatorname{Cont}(G_p)$ の coproduct である．
## 7. 研究課題
1. theory extension $\mathbb T'\to\mathbb T$ に対する Leray spectral sequence
\[
E_2^{p,q}=H^p(\mathbb T;R^qf_*A)\Rightarrow H^{p+q}(\mathbb T';A)
\]
を，relative definability/descent obstruction として構文化する．
2. $H^2$ を definable gerbe，model extension，conservative definitional extension の obstruction として体系化する．
3. $H^*_{\mathrm{top}}$ と Lawvere/Quillen/Baues--Wirsching cohomology を結ぶ comparison morphism または spectral sequence の有無を調べる．
## References
- O. Caramello and P. T. Johnstone, *De Morgan's law and the Theory of Fields*, Adv. Math. 222 (2009), arXiv:0808.1972.
- M. Ikebuchi, *A Lower Bound of the Number of Rewrite Rules Obtained by Homological Methods*, LMCS 18(3), 2022.
- M. Ikebuchi, *Homological Invariants of Higher-Order Equational Theories*, LICS 2025, arXiv:2505.10149.
- M. Ikebuchi, *Cohomology of Small Cartesian Closed Categories*, arXiv:2510.00488.
- M. Ikebuchi, *Anick Resolution for Lawvere Theories from Algebraic Discrete Morse Theory*, arXiv:2603.28382.
- M. Jibladze and T. Pirashvili, *Quillen cohomology and Baues--Wirsching cohomology of algebraic theories*, 2006.