理論のトポスコホモロジー
## Trigger
幾何的理論 $\mathbb T$ の classifying topos $\mathbf{Set}[\mathbb T]$ の $H^0,H^1$ と Euler characteristic を，$\mathbb T$ の構文だけで記述したいという会話から出発した．
## Basic dictionary
$A\in\mathbf{Ab}(\mathbf{Set}[\mathbb T])$ に対して
\[
H^n(\mathbb T;A):=R^n\Gamma(A).
\]
$H^0$ は $\mathbb T$-provably uniquely definable な $A$-元，$H^1$ は $A$-torsor の同型類．構文 site 上では covering sequent と definable transition function の Čech cocycle で記述できる．全次数は hypercover で記述できる．Euler characteristic は一般には係数なしには定義されず，$R\Gamma(A)$ が perfect のとき $K_0$-class，体係数で有限次元・有限振幅なら交代次元和として定義する．
## Integral coefficients and explicit examples
有限群 $G$ の $G$-torsor 理論の classifying topos は $BG=G\text{-}\mathbf{Set}$ であり，定数係数 $\mathbb Z$ に対して
\[
H^*(\mathbb T_G;\mathbb Z)=H^*(G;\mathbb Z).
\]
特に $G=C_n$ では periodic resolution から
\[
H^0=\mathbb Z,\qquad H^{2k}=\mathbb Z/n\;(k\ge1),\qquad H^{2k+1}=0.
\]
従って $H^2\neq0$ となる非常に初等的な geometric theory の例が得られる．また
\[
0\to\mathbb Z\xrightarrow{n}\mathbb Z\to\mathbb Z/n\to0
\]
の Bockstein で $H^1(C_n;\mathbb Z/n)\cong H^2(C_n;\mathbb Z)\cong\mathbb Z/n$．generic $C_n$-torsor の非自明性を integral $H^2$ の obstruction として見られる．
## Algebraic theories: surprising collapse
finitary algebraic/cartesian theory $\mathbb T$ は presheaf type で
\[
\mathbf{Set}[\mathbb T]\simeq [\mathrm{fp}\,\mathbb T\text{-Mod}(\mathbf{Set}),\mathbf{Set}].
\]
$\mathrm{fp}\,\mathbb T\text{-Mod}$ には初期対象（0 generators の free model）があるため，global sections はその初期対象での evaluation に一致し exact．従って任意の abelian object $A$ について
\[
H^n(\mathbf{Set}[\mathbb T];A)=0\qquad(n>0).
\]
特に classifying-topos cohomology は algebraic theory の presentation complexity を全く検出しない．
## Relation to Mirai Ikebuchi
これは Ikebuchi/Jibladze--Pirashvili の Lawvere theory cohomology と本質的に別物．彼らは Lawvere theory $\mathbf L$ 自体の Quillen/Baues--Wirsching cohomology（enveloping ringoid $\mathcal U_{\mathbf L}$ と Kähler differentials $\Omega_{\mathbf L}$ に対する Ext/Tor）を使う．Mirai Ikebuchi の 2026 年 Adv. Math. 論文 “Anick resolutions for Lawvere theories via algebraic discrete Morse theory” は normalized bar resolution を algebraic discrete Morse theory で collapse し，高次 Anick resolution を構成する．群の signature $\Sigma_0=\{\cdot,e,^{-1}\}$ について homology inequality から任意の equivalent equational presentation $E$ が
\[
\#E\ge \#\Sigma_0-1=2
\]
を満たすことを導き，「群はこの signature では single equational axiom では公理化できない」という古典的論理学的事実を homology から再証明する．これはまさに「syntactic proof は難しいが homological invariant なら obstruction が一行で出る」タイプの例．
## Spectral-sequence calculation
群拡大 $1\to C_3\to S_3\to C_2\to1$ の Lyndon--Hochschild--Serre spectral sequence
\[
E_2^{p,q}=H^p(C_2;H^q(C_3;\mathbb Z))\Rightarrow H^{p+q}(S_3;\mathbb Z)
\]
を使う．$H^{2k}(C_3;\mathbb Z)=\mathbb Z/3$，odd degree は 0．$C_2$ の inversion action は degree $2k$ 上で $(-1)^k$．したがって total degree $\le4$ で
\[
H^2(S_3;\mathbb Z)=\mathbb Z/2,\qquad H^3=0,\qquad H^4=\mathbb Z/6.
\]
これは theory of $S_3$-torsors の classifying-topos cohomology の非自明な spectral-sequence 計算になる．
## Field-theoretic example
$\mathbb F_q$-algebraとしての algebraic closure を記述する geometric theory
\[
\mathbb T_{\overline{\mathbb F_q}}:
\text{field of char. }p,\ \text{algebraically closed},\quad x\vdash_x\bigvee_{m\ge1}(x^{q^m}=x)
\]
を考える．Set-model は $\overline{\mathbb F_q}$ 一つ（同型を除く）で automorphism group は Frobenius により $\widehat{\mathbb Z}$．対応する atomic/Galois classifying topos は $B\widehat{\mathbb Z}$（continuous actions）．よって discrete trivial coefficient $\mathbb Z$ に対し
\[
H^0=\mathbb Z,\quad H^1=0,\quad H^2\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\widehat{\mathbb Z},\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\mathbb Q/\mathbb Z,\quad H^{n>2}=0.
\]
計算は $0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ と torsion discrete modules に対する $\mathrm{cd}(\widehat{\mathbb Z})=1$ を使う．これは「field theory 由来で $H^2$ が巨大に非自明」という例．
Caramello--Johnstone は theory of fields の DeMorganization が「nonzero characteristic で prime field 上 algebraic な fields」の理論を classify することを示しており，field logic と Galois/atomic topology の接続を掘る上で重要．
## Logical meaning
$H^1$ の非零元は locally inhabited だが globally trivialize できない definable torsor を表す．$C_n$-torsor theory では generic torsor が $H^1(B C_n;\mathbb Z/n)$ の generator であり，parameter-free definable global point が存在しないことを Morita-invariant に示す．Bockstein はこの failure を $H^2(-;\mathbb Z)$ の obstruction に送る．
## Goal
幾何的理論の「論理的複雑さ」と classifying topos の cohomological invariants の対応を体系化する．特に，(1) geometric morphism induced by theory extension/reduct に対する Leray spectral sequence，(2) torsor/gerbe の論理的 obstruction，(3) algebraic theories では classifying-topos cohomology が消える一方，Lawvere-theory Quillen cohomology が axiomatization complexity を検出するという二種類の cohomology の比較，を論文化可能な形に整理する．