スケッチ #288

Codensity再構成の冪等性 ## Trigger [[bpjn8j]] の「認識から実在を再構成する codensity」と，[[akz63c]] の observable subcategory，[[mg2ynp]] の捨象/reflection を，一つの必要十分条件で結んだ． ## Result **定理（idempotent reconstruction theorem）．** 関手 \[ i:\mathcal O\to\mathcal C \] の codensity monad \[ T=\operatorname{Ran}_i i \] が存在するとする．次は同値である． 1. monad multiplication \(\mu:T^2\to T\) が自然同型である． 2. fixed objects \[ \mathcal C_{\mathrm{obs}}= \{Y\in\mathcal C\mid\eta_Y:Y\to TY\text{ が同型}\} \] は reflective full subcategory であり，reflector は \(T\) である． 3. 観測対象からの再構成を二度行っても，一度目以上の情報を加えない． ## Proof \(\mu\) が同型とする．monad laws より \[ \mu_X\eta_{TX}=\operatorname{id}_{TX}=\mu_XT\eta_X, \] 従って \[ \eta_{TX}=T\eta_X=\mu_X^{-1}. \] よって \(TX\) は fixed object である． \(Y\) が fixed のとき，写像 \[ \mathcal C(TX,Y)\longrightarrow\mathcal C(X,Y), \qquad h\longmapsto h\eta_X \] を考える．逆写像は \[ f\longmapsto\eta_Y^{-1}Tf \] である．unit の自然性から \[ (\eta_Y^{-1}Tf)\eta_X=f. \] 逆方向には \[ \eta_Y^{-1}T(h\eta_X) =\eta_Y^{-1}Th\,T\eta_X =\eta_Y^{-1}Th\,\eta_{TX} =h. \] 従って \[ T\dashv\mathcal C_{\mathrm{obs}}\hookrightarrow\mathcal C. \] 逆に reflective subcategory が誘導する monad の multiplication は常に同型なので，2から1も従う．3は1の意味論的言い換えである． ## Interpretation codensity monad は一般に「観測から再構成する」．しかしそれが「観測可能な部分圏を切り出す reflection」になるための正確な条件は \[ \boxed{\mu:T^2\to T\text{ が可逆}} \] である． - ultrafilter monad や double-dualization は一般に非冪等であり，再構成を反復すると新しい completion data が残る． - locale 化・sheafification・各種 separated reflection のような捨象が冪等なら，それは本当に observable world への reflection である． ## Goal Kobin にある locale，ultraproduct，compact generation，manifold reconstruction の各例について，対応する codensity monad の multiplication が可逆かを調べる．これにより「同じ捨象手続き」に見える例を，idempotent/non-idempotent の境界で分類する． ## Status 定理は任意の monad に対する標準的な idempotent-monad theorem であり証明済み．Kobin の個別例への適用と哲学的統一が新しい研究部分である．