スケッチ #300

Slice LSCのisotropy束 ## Trigger [[e568dw]] の slice LSC formula と [[n6v2sg]] の normal local states を，群作用トポスで同時に具体化した．一般の「LSC と isotropy」の問題に対する，完全に計算できる test case である． ## Result **定理（local-state isotropy bundle）．** 離散群 \(G\) の左作用 \(G\curvearrowright X\) を取る．slice topos \(G\text{-}\mathbf{Set}/X\) の local state classifier は，\(X\) 上の \(G\)-set \[ \boxed{ \Xi_{/X} \cong \{(x,H)\mid x\in X,\ H\le G_x\} \longrightarrow X } \] である．ここで \[ G_x=\{g\in G\mid gx=x\}, \qquad g\cdot(x,H)=(gx,gHg^{-1}). \] さらに \(G\)-map \(p:Y\to X\) に対する canonical map は \[ \boxed{ \xi_Y^{/X}(y)=\bigl(p(y),G_y\bigr). } \] ## Proof action groupoid \(G\ltimes X\) を，objects を \(x\in X\)，arrows \(x\to gx\) を \(g\in G\) として定める．fiber \(Y_x=p^{-1}(x)\) を取り，arrow \(g:x\to gx\) に \(y\mapsto gy\) を対応させることで \[ G\text{-}\mathbf{Set}/X\simeq[G\ltimes X,\mathbf{Set}] \] を得る． 一般に groupoid \(\mathcal G\) の representable \(\mathcal G(x,-)\) の quotients は，subgroups \[ H\le\operatorname{Aut}_{\mathcal G}(x) \] と対応する．identity arrow の同値類が \(H\) を与え，equivariance により quotient relation 全体が決まる．arrow \(g:x\to x'\) に沿う transport は \(H\mapsto gHg^{-1}\) である． \(G\ltimes X\) では \(\operatorname{Aut}(x)=G_x\) なので，local states は pair \((x,H)\), \(H\le G_x\) である．また \(y\in Y_x\) が生成する representable quotient の kernel は \[ \{h\in G_x\mid hy=y\}=G_y, \] 従って canonical map の公式も従う． ## Corollaries 1. \(X=1\) なら，共役作用付き subgroup object \[ \Xi_{G\text{-}\mathbf{Set}}\cong\operatorname{Sub}(G) \] を回収する． 2. normalization operator は \(H\mapsto N_G(H)\) であり，\(\operatorname{Eq}(\nu,\top)\) は normal subgroups である． 3. slice formula \[ \Xi_{/X}\cong\{(x,H)\mid H\le\xi_X(x)\} \] が stabilizer の言葉で文字通り実現される． ## Interpretation \[ \text{local state at }x = \text{isotropy group }G_x\text{ の部分群} \] である．すなわち LSC は，固定した一つの isotropy group の opens ではなく，base point とともに変動する **subgroup-valued isotropy bundle** として現れる． ## Status 離散群作用の test case として証明済み．一般の localic isotropy group に対する sheaf/open-subgroup 版との比較は，既存の共同研究と区別して扱う必要がある．