LSC of a slice topos
## Trigger
旧HP Problems 1.3.1（theme: Local state classifier）から移住する公開問題。旧HP Problems 40問のうち最後まで残った3問の1つ。`created` は旧HPページの版日付（2026-04-27版）を代理値とし、正確な着想日は不明。
## Idea
Is the local state classifier of the slice topos \(\mathcal{E}/X\) given by pulling back the order projection \(\preceq\to\Xi\times\Xi\to\Xi\) along the canonical morphism \(\xi:X\to\Xi\)?
Informally: is it the object of all local states that are more unfolded than \(X\)?
## Goal
\(\Omega\) のslice安定性 \(\Omega_{\mathcal{E}/X}=X^*\Omega\) に対応する \(\Xi\) 版の公式を確立する。\(\Xi\) の相対化の最初の一歩であり、これが通ると [[nfrbb5]]（bounded elementary topoiのLSC）やrelative topos theoryへの道が具体的な公式レベルで開く。
## Personal context
非公開ノート *Notes on advances of LSC* に §LSC of slice topos のongoing節が既にあり、部分的に解けている可能性が高い。ノートの現状（どこまで証明済みか）の転記は洞の確認後。関連瓶: [[jmenm6]] がこのslice LSC conjectureと §Exponential structure の問いの接続を扱う。issue #43 下書き15/Nの新規性チェック（2026-07-08）では、slice toposのLSCを扱う外部文献はヒットせず（LSC文献は自著系列のみ）、型として最近接なのは \(\Omega\)・partial map classifierのslice安定性（教科書事項）と相対トポス系（arXiv:2104.05650等）。
## References
- [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients*](http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html)
## Provenance
- 旧ID: 1.3.1
- 旧分類: formal question
- [旧出典 `scripts/site.js` 661–671行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L661-L671)
- Ideaの2段落は旧HPのstatement / descriptionをそのまま保持した。
- issue #43 下書き15/N（2026-07-08・新規性チェック付き）を経由して瓶化。
## 2026-08-26 AI研究監査：slice formula の候補解
$\preceq\hookrightarrow\Xi\times\Xi$ を internal order とし，第二射影を $\pi_2$ とする．任意の $X\in\mathcal E$ について，slice topos の local state classifier は $X$ 上の対象として
\[
\Xi_{\mathcal E/X}\cong X\times_{\xi_X,\Xi,\pi_2}\preceq
=\{(x,u)\mid u\preceq\xi_X(x)\}
\]
で与えられる．$p:Y\to X$ の canonical map は
\[
y\longmapsto (p(y),\xi_Y(y))
\]
である．
証明は site of elements で行える．$x:ay(c)\to X$ に対し，slice 内の $ay(c)$ の quotient は，$x$ が factor する quotient $q:ay(c)\twoheadrightarrow Q$ と同じである．$q_x:ay(c)\twoheadrightarrow\langle x\rangle$ を image quotient とすれば，これは $q\preceq q_x$ と同値である．したがって presheaf-level classifier は上記 pullback であり，sheafification の左完全性により公式が保たれる．canonical map の well-definedness は $\xi_Y\preceq\xi_Xp$ から従う．
この証明は完全解候補だが，公開前に site 表示と order の向きを人間が再検証する必要がある．
## 2026-08-27 接続整理：relative LSC，local mono，étendue，choice
以下
\[
D_X:=X\times_{\xi_X,\Xi,\pi_2}\preceq
=\{(x,u)\mid u\preceq\xi_X(x)\}
\]
と書く．slice formula の主張は，\(D_X\to X\) が \(\mathcal E/X\) の local state classifier であり，\(p:Y\to X\) の canonical state map が
\[
\bar\xi_p:=\langle p,\xi_Y\rangle:Y\longrightarrow D_X
\]
である，というものである．
### Relative LSC における étale branch
Nivar の relative LSC は geometric embedding \(j:\mathcal E_j\hookrightarrow\mathcal E\) に対し，ambient \(\Xi\) 上の inflationary idempotent semilattice endomorphism \(\lambda_j\) を構成し，
\[
\Xi_j=\operatorname{Eq}(\operatorname{id}_\Xi,\lambda_j)
\]
を sheafify して \(\mathcal E_j\) の LSC を得る．これに対し，射影 \(\pi_X:\mathcal E/X\to\mathcal E\) は étale，したがって localic であり，slice formula はその relative states を fiberwise principal ideal
\[
\downarrow\xi_X=\{(x,u)\mid u\preceq\xi_X(x)\}
\]
として与える．従って一般の localic morphism に対する relative LSC は，少なくとも embedding の fixed-point localization と étale morphism の principal-ideal restriction を統合する必要がある．これは [[mhv4sn]] の relative LSC program における étale branch である．
### Base change，non-singular maps，local monomorphisms
任意の \(f:A\to B\) に対し，一般不等式 \(\xi_A\preceq\xi_Bf\) から canonical monomorphism
\[
c_f:D_A\hookrightarrow f^*D_B
\]
が得られ，
\[
c_f\text{ is an isomorphism}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\xi_A=\xi_Bf
\]
である．右辺は Menni の non-singular map の定義である．従って non-singular maps は，slice LSC が cartesian base change を満たす射に正確に一致する．さらに [[b7m4yk]] の問い「Kock--Moerdijk の local monomorphism と Menni の non-singular map は一致するか」が肯定的なら，local monomorphisms はちょうど \(D_A\cong f^*D_B\) を満たす射である．
### Étendue と bottom
Hora の localic criterion と slice formula から
\[
\mathcal E/X\text{ is localic}
\quad\Longleftrightarrow\quad
D_X\cong X
\]
を得る．これは \(\xi_X\) が fiberwise minimal state を取ることに等しい．epi \(X\to1\) に沿った descent と合わせると，[[j9bcyf]] の
\[
\mathcal E\text{ is an étendue}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\Xi\text{ has a global bottom}
\]
が slice formula から導かれる．
### 訂正：internal AC と external AC
以前の監査で「非自明な群 \(G\) に対して \(G\to1\) が section を持たないので \(G\text{-}\mathbf{Set}\) は IAC を満たさない」と述べたのは誤りである．これは internal axiom of choice と，every epimorphism splits という external axiom of choice を混同していた．
Barr--Wells の用語では：
- \(\mathrm{AC}\)：すべての epimorphism が外的な section を持つ．
- \(\mathrm{SS}\) (Supports Split)：codomain が \(1\) の subobject である epi が split する．
- \(\mathrm{IAC}\)：epi \(p:Y\twoheadrightarrow X\) と任意の \(C\) に対し \(p^C:Y^C\twoheadrightarrow X^C\) が epi である．
また \(\mathrm{AC}\) は \(\mathrm{IAC}+\mathrm{SS}\) に分解される．
任意の \(p:Y\to X\) に対し sections の対象を
\[
\operatorname{Sec}(p)
:=1\times_{X^X}Y^X
\]
とする．ここで \(1\to X^X\) は \(\operatorname{id}_X\) の transpose，\(Y^X\to X^X\) は \(p\) との postcomposition である．すると
\[
p\text{ が external に split}
\Longleftrightarrow
\operatorname{Sec}(p)\text{ が global point を持つ},
\]
一方 Barr--Wells の Proposition 7.2.2 により，epi \(p\) が IAC の結論を満たすことは
\[
\operatorname{Sec}(p)\to1\text{ が epi}
\]
すなわち \(\operatorname{Sec}(p)\) が globally supported であることと同値である．
slice formula の top section
\[
t_X:=\langle\operatorname{id}_X,\xi_X\rangle:X\longrightarrow D_X
\]
を用いて
\[
\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)
:=1\times_{D_X^X}Y^X
\]
を定める．ここで \(Y^X\to D_X^X\) は \(\bar\xi_p\) との postcomposition，\(1\to D_X^X\) は \(t_X\) の transpose である．section \(s:X\to Y\) について
\[
ps=\operatorname{id}_X
\quad\Longleftrightarrow\quad
\bar\xi_p s=t_X
\]
である．実際，左辺なら \(s\) は monic なので \(\xi_Ys=\xi_X\) であり，逆向きは第一成分を取ればよい．従って自然な同型
\[
\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\cong\operatorname{Sec}(p)
\]
がある．よって正しい LSC criterion は
\[
\mathcal E\models\mathrm{IAC}
\Longleftrightarrow
\forall p:Y\twoheadrightarrow X,
\ \operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\to1\text{ is epi},
\]
であり，every epi splits という external AC は \(\operatorname{Lift}_{\Xi}(p)\) が global point を持つことを要求する．
非自明な離散群 \(G\) に対し \(G\text{-}\mathbf{Set}\) は IAC を満たすが AC を満たさない（Barr--Wells，Exercise GAC）．左正則作用に対する epi \(G\to1\) には equivariant section がないが，その section object は \(G\) 自身であり，global point は持たない一方で global support は持つ．従ってこの例は IAC の反例ではなく，\(\mathrm{SS}\) および external AC の失敗例である．
Freyd--Scedrov の特徴づけによれば，Grothendieck topos が IAC を満たすことは Boolean étendue であることと同値である．従って [[j9bcyf]] の bottom criterion が確立されれば
\[
\mathcal E\models\mathrm{IAC}
\quad\Longleftrightarrow\quad
\mathcal E\text{ is Boolean and }\Xi\text{ has a global bottom}
\]
となる．bottom は étendue 性を，Booleanity と合わせた条件は IAC を，さらに Supports Split を加えた条件は external AC を表す．
### References
- [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients*](https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html)
- Nivar, *Relative Local State Classifiers and Hyperconnected Quotients of Sheaf Subtoposes*，draft．
- [Matías Menni, *Non-singular maps in toposes with a local state classifier*](https://arxiv.org/abs/2505.07131)
- [Anders Kock and Ieke Moerdijk, *Every étendue comes from a local equivalence relation*](https://doi.org/10.1016/0022-4049(92)90118-Y)
- [Michael Barr and Charles Wells, *Toposes, Triples and Theories*, Chapter 7, §2](https://www.math.mcgill.ca/barr/papers/ttt.pdf)
- Peter J. Freyd and Andre Scedrov, *Categories, Allegories*, North-Holland, 1990, p.181．
- [Radu Diaconescu, *Axiom of Choice and Complementation*](https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1975-0373893-X)
### 公開前の検証項目
1. quotient order が identity quotient \(\preceq\) terminal quotient という convention と一致すること．
2. category of elements の各 representable \((ay(c)\xrightarrow{x}X)\) における slice quotient が，\(x\) の factorization を許す ambient quotient \(q\preceq q_x\) と一致すること．
3. presheaf-level の同型と sheafification 後の ambient pullback \(D_X\) の同一視を明記すること．
4. Freyd--Scedrov の Boolean étendue characterization と [[j9bcyf]] の bottom criterion の仮定範囲を最終原稿で揃えること．