Relative LSC program
## Trigger
Nivar論文がsubtopos caseを解決したことで、Horaノート§Boundsのconjecture「EがLSCを持てばbounded E-toposもLSCを持つ」の全体像が見えた（claudeとの会話より）。
## Idea
一般問題：「bounded E-toposのLSCを、Ξ_Eとstructure morphismのデータから構成せよ」。現状の到達点：embedding caseはNivarが解決（Ξ_j = Eq(id, λ_j)のsheaf化）、hyperconnected caseはHoraノートで解決済み（filter FがそのままLSC）。hyperconnected–localic factorizationにより、本質的な未知は「localic morphism沿いのLSCの挙動」に集約される。Nivarの Example 7.5/7.6が示す通り、relative LSCはE-toposとしての不変量であってtoposとしての不変量ではない（両方Setなのに Ξ_{jE} ≅ 1, Ξ_{jV} ≅ Ξ）。
## Goal
relative topos theoryの枠組みでのLSC理論の完成。boundsとLSCの存在の関係の解明。
## Personal context
Horaノート§Boundsのconjectureの解決プログラム。Nivar論文はそのsubtopos caseの肯定的解決として位置づけられる。
## 吸収した旧問題: HP Problems 1.1.3
### Original question
If the local-monomorphism characterization above is true, one can define a relative local state classifier for any geometric morphism. Does it classify all relative hyperconnected geometric morphisms, just as in the absolute case?
### Original description
A relative version of the local-state-classifier classification of hyperconnected quotients.
### このprogramとの関係
旧1.1.3は、relative local state classifierの構成後に、それがrelative hyperconnected geometric morphismsをabsolute caseと同様に分類するかを問う。この分類問題は、本瓶が扱うrelative LSC programの一部であり、洞の判断（2026-07-14）により別の瓶を作らず本瓶へ吸収した。
原文の “local-monomorphism characterization above” は旧Problems 1.1.2、現在の瓶 [[b7m4yk]] が問う特徴づけを指す。
### Provenance
- 旧ID: 1.1.3（テーマ: Local state classifier / 旧分類: informal question）
- 旧タグ: relative topos, hyperconnected, geometric morphism
- 旧リスト更新日: 2026-03-30
- 旧出典: [ryuya-hora-homepage@1b8b74c / scripts/site.js 610–618行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L610-L618)
## Notion からの追記（2026-08-16）
Notion「研究テーマ」DBの `Relative LSC`（優先度★★★★、進行状況 ●○○、coresearcher 欄に Olivia Caramello）から、本文にあった次の一行を材料として移す。
> Filt(\(\Xi\)) の普遍性を調べる．とりあえず．
本瓶は Nivar 論文と Hora ノート §Bounds の conjecture を起点に「bounded E-topos の LSC を base から構成する」という形で問題を立てているが、Filt(\(\Xi\)) の普遍性を調べるという入口はそこに入っていない。relative LSC を filter の側から攻める一手として記録する。