Relative covariety classification
## Trigger
[[r6y2tf]] の covariety classification 候補と [[qdhgdp]] の bound characterization
\[
B\text{ bound}\iff \uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)=\Xi
\]
を比較すると、後者は前者において「単一対象 \(B\) が生成する covariety がトポス全体になる」ことそのものと読める。さらに [[mhv4sn]] の relative LSC program に対して、この対応自体は relative setting でも形式的に internalize できることを確認した。
## Absolute theorem
Grothendieck topos \(\mathcal E\) とその local state classifier \(\Xi\) を固定する。covariety を subobjects, quotients, small coproducts で閉じた replete full subcategory とする。
**Theorem.** \(\Xi\) の upward closed subobjects と \(\mathcal E\) の covarieties の間に順序同型
\[
\operatorname{Up}(\Xi)\cong\operatorname{Cov}(\mathcal E)
\]
がある。upward closed \(U\hookrightarrow\Xi\) に対し
\[
\mathcal E_U:=\{X\in\mathcal E\mid \xi_X:X\to\Xi\text{ factors through }U\}
\]
を対応させる。
### Proof
(1) **\(U\mapsto\mathcal E_U\) は covariety.** Mono \(m:A\hookrightarrow X\) では \(\xi_A=\xi_Xm\) なので subobject 閉性。任意の射 \(f:X\to Y\) について
\[
\xi_X\le \xi_Yf
\]
が成り立つので、epi \(e:X\twoheadrightarrow Y\) と \(X\in\mathcal E_U\) に upward closedness を使えば \(\xi_Ye\) は \(U\) に入り、epi descent で \(\xi_Y\) も \(U\) を通る。coproduct injections は mono で jointly epi なので small coproducts でも閉じる。
(2) **covariety \(\mathcal V\) から最大 \(\mathcal V\)-subobject.** 各 \(X\) について
\[
T_{\mathcal V}X:=\bigvee\{A\hookrightarrow X\mid A\in\mathcal V\}
\]
とする。\(\operatorname{Sub}(X)\) は set なので定義でき、右辺は該当 subobjects の coproduct の image だから \(T_{\mathcal V}X\in\mathcal V\)。任意の射 \(f:X\to Y\) は \(T_{\mathcal V}X\) の image を \(\mathcal V\)-subobject of \(Y\) に送るため \(T_{\mathcal V}X\to T_{\mathcal V}Y\) を誘導する。特に mono \(m:A\hookrightarrow X\) について
\[
T_{\mathcal V}A=A\times_XT_{\mathcal V}X.
\]
従って characteristic maps \(\chi_X:X\to\Omega\) of \(T_{\mathcal V}X\hookrightarrow X\) は monos に沿って compatible。
LSC の colimit universal property より一意な
\[
\gamma_{\mathcal V}:\Xi\to\Omega
\]
が存在し \(\gamma_{\mathcal V}\xi_X=\chi_X\)。
\[
U_{\mathcal V}:=\gamma_{\mathcal V}^{-1}(\top)\hookrightarrow\Xi
\]
と置くと
\[
X\in\mathcal V\iff T_{\mathcal V}X=X\iff \xi_X\text{ factors through }U_{\mathcal V}.
\]
(3) **\(U_{\mathcal V}\) は upward closed.** site 表示 \(\mathcal E=\mathbf{Sh}(C,J)\) を取り、local states を quotients of sheafified representables で表示する。\(u\le v\) は cover 上で orbit quotient \(q_v\) が \(q_u\) を経由することと同値 ([[qdhgdp]] Lemma 2 と同じ site-local calculation)。\(u\in U_{\mathcal V}\) なら対応する orbit object は局所的に \(T_{\mathcal V}X\) の subobject、従って \(\mathcal V\) に属する。その quotient である \(v\) の orbit object も \(\mathcal V\) に属するので \(v\in U_{\mathcal V}\)。membership は local なので結論。
(4) **互いに逆.** 上で既に \(\mathcal E_{U_{\mathcal V}}=\mathcal V\)。逆に upward \(U\) について、各 \(u\in U\) は cover 上で quotient \(q:ay(c)\twoheadrightarrow Q\) の canonical generator の local state として表される。\(Q\) の全 local states は \(u\) の restrictions 以上の states であり、\(U\) が subsheaf かつ upward closed なので \(Q\in\mathcal E_U\)。従って \(U\) は \(\mathcal E_U\) に属する対象たちの local states によって局所的に覆われ、\(U_{\mathcal E_U}=U\)。∎
## Single-object generation
対象 \(B\) が生成する最小 covariety を \(\operatorname{Cov}(B)\) とする。
**Corollary.** 対応する upward closed subobject は
\[
\boxed{U_B=\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B).}
\]
Proof: \(B\in\mathcal E_U\iff\operatorname{im}(\xi_B)\subseteq U\)。従って \(B\) を含む covarieties に対応する upward subobjects は \(\operatorname{im}(\xi_B)\) を含む upward subobjects であり、その最小元は upward closure。∎
したがって任意の upward \(U\) に対し
\[
B\in\mathcal E_U
\iff U_B\subseteq U
\iff \operatorname{Cov}(B)\subseteq\mathcal E_U.
\]
特に
\[
\boxed{B\text{ is a bound}\iff \operatorname{Cov}(B)=\mathcal E\iff U_B=\Xi,}
\]
であり、[[qdhgdp]] は covariety classification の top-element case に一致する。また \(\xi_B\) epi なら \(U_B=\Xi\) なので bound。
## Three-column dictionary
| object \(B\) | generated subobject \(U_B\subseteq\Xi\) | generated full subcategory |
|---|---|---|
| arbitrary | \(\uparrow\!\operatorname{im}\xi_B\) | \(\operatorname{Cov}(B)\) |
| \(B=0\) | \(0\) | \(\{0\}\) |
| \(\operatorname{im}\xi_B\) already upward | \(U_B=\operatorname{im}\xi_B\) | states already quotient-saturated |
| \(\xi_B\) epi | \(U_B=\Xi\) | \(\mathcal E\) |
| \(B\) bound | \(U_B=\Xi\) | \(\mathcal E\) |
| \(B\in\mathcal E_U\) | \(U_B\subseteq U\) | \(\operatorname{Cov}(B)\subseteq\mathcal E_U\) |
## Relative theorem
\(p:\mathcal E\to\mathcal S\) を bounded geometric morphism とする。relative LSC \(\Xi_p\) が存在し、その canonical maps \(\xi_X^p:X\to\Xi_p\) が internal-site construction（equivalently, the LSC axioms and order calculus above）を満たすと仮定する。
\(\mathcal S\)-covariety を、\(p\) の canonical \(\mathcal S\)-indexed category の replete full indexed subcategoryで、fiberwise subobjects/quotients と \(\mathcal S\)-indexed coproducts で閉じるものと定義する。
**Relative Theorem.** このとき
\[
\boxed{\operatorname{Up}(\Xi_p)\cong\operatorname{Cov}_{\mathcal S}(\mathcal E)}
\]
が成り立ち、単一対象 \(B\) が生成する relative covariety は
\[
U_B^p=\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B^p)
\]
に対応する。したがって
\[
\boxed{B\text{ is a bound for }p\iff U_B^p=\Xi_p.}
\]
**Proof.** bounded geometric morphism は relative Grothendieck topos、すなわち \(\mathcal S\) の internal site 上の internal sheaves として表示できる（relativized Giraud theorem）。上の absolute proof は finite limits, images, subobject classifiers, internally small joins/coproducts, sheaf-locality と LSC の internal-site quotient description のみを使うため、\(\mathcal S\) の internal language で逐語的に成立する。small coproduct は \(\mathcal S\)-indexed coproduct に置換される。最後の bound 同値は bound の定義「任意の \(X\) が \(p^*I\times B\) の subquotient」と、relative covariety generated by \(B\) が全体であることの一致。∎
### Important separation of problems
この relative classification は **relative LSC が存在すれば**成立する。未解決の [[nfrbb5]]「base \(\mathcal S\) が LSC を持つとき bounded \(\mathcal S\)-topos \(\mathcal E\) も LSC を持つか」は、分類定理そのものとは別の existence problem であり、本結果はそこを解いたとは主張しない。
## Literature audit
- Hora, TAC 42 (2024) は LSC を導入し hyperconnected quotients を internal semilattice morphisms で分類する。
- bounded morphism = relative Grothendieck topos / internal-site representation は Johnstone, *Sketches of an Elephant* B3.3.4, C2.4 の standard relative Giraud theory。
- Gumm--Schröder の classical coalgebraic covariety は H,S, coproduct closure を扱うが、quick search では LSC の upward subobjects との対応は見つからなかった。novelty は未確定。
## Status
absolute classification と single-object formula は proof-complete。relative theorem は明示した relative-LSC hypotheses の下で proof-complete。relative LSC の existence は別問題として open のまま。