Classification of covarieties

## Trigger 非公開Overleafノート *Notes on advances of LSC* の covariety classification 節について、issue #43 の下書き6/Nに保存された要約から瓶化した。原ノートそのものは今回再確認しておらず、以下は著者による確認前の result candidate である。 ## Candidate result Grothendieck topos \(\mathcal E\) の covariety を、subquotients と small coproducts で閉じた full subcategory とする。このとき、local state classifier \(\Xi\) の upward closed subobjects と \(\mathcal E\) の covarieties の間に全単射がある、という候補主張である。 issueに保存された証明スケッチの骨格は次の二方向からなる。 1. upward closed subobject \(U\hookrightarrow\Xi\) から、canonical map \(\xi_X:X\to\Xi\) を通じて full subcategory \(\mathcal E_U\) を定め、covariety の閉性を示す。 2. covariety \(\mathcal V\) から各 \(X\) に含まれる最大の \(\mathcal V\)-subobjectを構成し、monic counitを持つ coreflection と order-preserving map \(\gamma:\Xi\to\Omega\) を得る。その classifierが upward closed subobjectを与える。 3. 二つの構成が互いに逆であることを示す。 ## Unverified status - 本瓶の kind: result は、私的ノートに定理・証明スケッチの形で置かれていることを記録する。数学的に検証済みという意味ではない。 - 最大 \(\mathcal V\)-subobjectの存在、coreflectorの functoriality、orderの向き、subquotient閉性との対応、二つの構成の逆性は未監査である。 - 原ノートと照合し、著者が証明を確認するまでは curation: ai-generated と visibility: private を維持する。 - この瓶と付属reportは非公開資料由来のため、public / shareable な成果物へそのままexportしない。 ## Goal 証明スケッチを定義・補題・主定理に分解して監査し、成立するなら、hyperconnected quotientsを \(\Xi\) の internal filtersで分類する既知の定理と並べる。必要なら、covarietyの定義または ambient category の仮定を修正し、正確な一般性を決める。 ## Personal context local state classifier \(\Xi\) が何を統制するかという中心テーマの、未発表result候補である。分類定理として確定すれば、subtopos、hyperconnected quotient、covarietyを内部対象上の構造で比較する表の一項になる。 ## References - 非公開Overleafノート *Notes on advances of LSC*（著者確認前。外部共有不可） - [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients* (arXiv:2302.06851)](https://arxiv.org/abs/2302.06851) - [H. Peter Gumm and Tobias Schröder, *Covarieties and complete covarieties*](https://doi.org/10.1016/S0304-3975(00)00123-7)