LSC for elementary topoi

## Trigger 旧HP Problems 1.1.4（theme: Local state classifier）から移住する公開問題。旧HP Problems 40問のうち最後まで残った3問の1つ。「すべてのGrothendieck toposはLSCを持つ」（TAC 42-11）の相対化。`created` は旧HPページの版日付（2026-04-27版）を代理値とし、正確な着想日は不明。 ## Idea Does an elementary topos have a local state classifier whenever it is bounded over a topos with a local state classifier? Every Grothendieck topos has a local state classifier; the question asks for a bounded elementary extension of that phenomenon. ## Goal LSCの存在定理をrelative topos theoryの言葉で閉じさせる。成立すれば「LSCを持つ」がbounded geometric morphismで下に閉じたクラスになり、base非依存の理論（任意のbase上のhyperconnected quotientのパラメータ付け）が立つ。 ## Personal context TAC 42-11の存在証明はsite表示（=Set上のbounded性）を本質的に使っており、証明のどのステップがinternal化できるかの棚卸しから始まる問い。非公開ノート *Notes on advances of LSC* に §Relationship with bounds のongoing節があり、この存在予想に加えて、boundという性質自体を \(\Xi\) で内在的に特徴づける予想が置かれている（statementの転記は洞の確認後）。関連瓶: [[mhv4sn]]（relative LSC program）が同じ相対化をbase-toposの側から進めている。issue #43 下書き4/Nの新規性チェック（2026-07-08）では、relative/bounded設定でのLSC存在を扱う外部文献はヒットせず、定式化自体が貢献級と判定。 ## References - [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients*](http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html) ## Provenance - 旧ID: 1.1.4 - 旧分類: formal question - [旧出典 `scripts/site.js` 619–629行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L619-L629) - Ideaの2段落は旧HPのstatement / descriptionをそのまま保持した。 - issue #43 下書き4/N（2026-07-08・新規性チェック付き）を経由して瓶化。