ξがepi iff bounded

## Trigger Notion「研究テーマ」DBの `ξがepi iff bound`（優先度★★★★、進行状況 Not started、coresearcher 欄は空）から瓶化した。Notion のページに本文は無く、**タイトルがそのまま主張になっている**。 [[nfrbb5]] の Personal context は、非公開ノート *Notes on advances of LSC* の §Relationship with bounds に「bound という性質自体を \(\Xi\) で内在的に特徴づける予想」があると記したうえで、その statement の転記を洞の確認後としていた。Notion のこのタイトルがその statement にあたると、洞が確認した（2026-08-16）。 ## Idea bounded であることと、canonical morphism \(\xi\) が epimorphism であることが同値である、という予想。 \(\xi\) は local state classifier をめぐる canonical な射で、[[n6v2sg]] では \(\nu=\xi_\Xi\) が normalization operator として現れる。ただし、ここでの \(\xi\) がどの対象の上のものを指すか、また bounded がどの base に対するものかは、Notion のタイトルだけからは確定できない。非公開ノートの当該節と照合する必要がある。 ## Goal 予想を正確な形に述べ、証明または反例を与える。成り立てば、bounded 性という相対的な条件が \(\Xi\) の内部的な性質へ翻訳される。 ## Personal context [[nfrbb5]] は「bounded なら LSC を持つか」という存在問題で、こちらは「bounded であることを \(\Xi\) で特徴づける」逆向きの問いである。nfrbb5 自身が「この存在予想に加えて」と両者を区別している。[[mhv4sn]]（relative LSC program）も同じ相対化を base の側から進めている。 ## 2026-08-26 AI研究監査：自然な解釈への反例 通常の意味で「対象 $B$ が bound であること」と「canonical local-state map $\xi_B:B\to\Xi$ が epi であること」の同値は偽である．非自明な離散群 $G$ に対し，$G$-set topos を考え，$B=G$ を正則左作用とする．$B$ は bound である（任意の $G$-set は $G$ の copower の quotient）．しかし \[ \xi_B(g)=\operatorname{Stab}(g)=1 \] なので $\xi_B$ の像は自明部分群だけであり，$\Xi=\operatorname{Sub}(G)$ への epi ではない． 群作用と presheaf の site-level 記述では，正しい置換候補は \[ B\text{ is a bound} \quad\Longleftrightarrow\quad \uparrow\operatorname{im}(\xi_B)=\Xi \] である．すなわち epi そのものではなく，像が order に関して cofinal であることを要求する．一般の relative topos における定式化と証明は未完了． ## 2026-09-07 解決（Claude scheduled run） 2026-08-26 監査の置換候補「\(B\) が bound \(\Leftrightarrow\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)=\Xi\)」を，任意の Grothendieck topos で証明した．証明・系（前層トポス，global bottom を持つ場合，連続 \(G\)-sets）・未解決事項（相対版・新規性）は [[qdhgdp]] にまとめた．元の主張「\(\xi_B\) epi ⇔ bound」は ⇒ のみ成立（⇐ は \(G\text{-}\mathbf{Set}\) の \(B=G\) が反例）で確定．