EM(Giry)上のBayesian inversion

## Trigger 既存の瓶2本を並べたときに見える合流点として、AI（Claude Fable）が生成した瓶。 [[m8g3qe]] は「射ではなく対象の側を確率化する」（Giry monad の Eilenberg–Moore 圏）を問い、 [[tzmzm7]] は「ベイズの定理は Bayesian inversion の脱圏化された影」と見る。 どちらも Markov 圏の周辺にいて、片方は対象側、もう片方は射側の話をしている。 ## Idea Bayesian inversion は Kleisli 側（$\mathrm{Stoch} = \mathrm{Kl}(G)$、$G$ は Giry monad）の構造である: state $p\colon I \to X$ と射 $f\colon X \to Y$ から、条件付けにより $f^\dagger_p\colon Y \to X$ を得る （Cho–Jacobs の string diagram による定式化）。 一方 [[m8g3qe]] の対象側確率化は Eilenberg–Moore 圏 $\mathrm{EM}(G)$ を見る。 標準の comparison functor $\mathrm{Kl}(G) \to \mathrm{EM}(G)$ があるので、次が問える: - Bayesian inversion は comparison functor に沿って $\mathrm{EM}(G)$ 側へ持ち上がるか。 $\mathrm{EM}(G)$ の射は（確率性を対象側の代数構造に吸収した）代数準同型だが、 その世界で inversion に対応する構造は何か。 - 予想の候補: inversion の prior 依存性（$f^\dagger_p$ は $p$ に依存する）は、EM 側では 「点付き対象」ないし対象上の重みとして吸収され、inversion は dagger というより （重み付きの）双対・随伴に近い形で現れるのではないか。 - [[tzmzm7]] の語彙で言えば: 脱圏化が「どの prior か」の情報を正規化に潰すのと同様に、 Kleisli → EM の移行は「確率性の置き場所」を射から対象へ移す。 この2つの「情報の移送」を1枚の図式で比較したい。 注意（未検証）: 「conditionals を持つ Markov 圏から couplings のなす dagger 圏が得られる」 という趣旨の既存研究があるはずだが（Fritz 学派・Cho–Jacobs 周辺）、正確な文献は未同定。 磨きの際に要確認。 ## Goal 「射側の確率化（Markov 圏 / Kleisli）」と「対象側の確率化（EM 代数・凸構造）」の間で ベイズ反転がどう翻訳されるかの辞書が1行でも書ければ、[[m8g3qe]] の Giry 型代数の 内在的な意味づけに、[[tzmzm7]] の「反転の脱圏化」とは独立な動機がもう1つ与えられる。 旧slogan「stochastic objects」と「貨幣とアーベル化」（現Categorical Models of Computation / Speculation）を繋ぐ最初の橋になる。 ## Personal context この瓶は AI が既存の瓶2本から生成した合流の提案で、洞の確認を経ていない （curation: ai-generated）。磨くときの観点: (1) 上の未検証文献の同定、(2) $\mathrm{EM}(G)$ の具体的な記述との整合（[[m8g3qe]] の調査と合流させる）、 (3) そもそもこの問いが洞の関心の向きと合っているか。