独裁は表現可能性
## Trigger
洞が，集団の合意に独裁しか残らない現象を，coskeletality，topos の点，Riesz 型表現定理の共通パターンとして捉えた．「関数から整合的に値を取る操作は内積で表され，前層から集合を bicontinuously 取り出す操作は Cauchy completion 後の evaluation で表される．ならば Arrow の独裁者も，合意形成作用を表現する一点なのではないか」という観察である．
## Idea
十分な exactness・naturality・局所整合性を課された「全体から値を取り出す操作」は，一つの内部要素によって represent される，という共通の定理型があるように見える．
1. Hilbert 空間 \(H\) では，連続線形汎関数 \(\lambda:H\to\mathbb K\) は一意な \(v\in H\) により
\[
\lambda(x)=\langle v,x\rangle
\]
と表される．
2. 小圏 \(\mathcal C\) の前層圏 \(\widehat{\mathcal C}=[\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) からの functor
\[
T:\widehat{\mathcal C}\to\mathbf{Set}
\]
がすべての小極限と小余極限を保存するなら，
\[
T(X)\cong\widehat{\mathcal C}(P,X)
\]
と表され，\(P\) は tiny object，したがって representable の retract である．ゆえに \(P\) は \(\operatorname{Kar}(\mathcal C)\) の対象であり，Cauchy completion 後には \(T\) は evaluation になる．
3. Arrow の設定では，IIA を選択肢部分集合への restriction との naturality，Pareto を diagonal condition，社会的選好の推移律を三点上の整合性と読む．decisive coalitions は ultrafilter をなし，有限 electorate では principal ultrafilter なので，一人の voter が aggregator を表現する．
したがって dictator は政治的な例外ではなく，
> **合意形成作用の representing object**
と読める可能性がある．対応するスローガンは
\[
\text{scalar observer}\simeq\text{vector},\qquad
\text{bicontinuous observer}\simeq\text{Cauchy point},\qquad
\text{Arrovian aggregator}\simeq\text{voter}
\]
である．
coskeletality の役割は，order object が二者比較と三者上の推移律から復元されるため，IIA により局所化された aggregator のデータが低次元で拘束され，そこで選ばれた decisive voter が全選択肢へ伝播することにある．Arrow の定理を「2-coskeletal object への natural observer に対する representability theorem」として再定式化したい．
## Boundary / cautions
- 一般の topos point は有限極限と全余極限を保存する inverse-image functor であり，presheaf topos の点は一般には flat functor であって evaluation とは限らない．全極限保存まで強めたときに Cauchy point へ硬化する．
- Riesz–Fréchet は Hilbert 空間上の連続線形汎関数についての主張であり，任意の関数から値を取る操作についてではない．
- \(C(X)\) 上の正規化正線形汎関数は一般には probability measure であり，multiplicativity／purity を課すと Dirac measure，すなわち一点評価になる．これは「分布的合意」と「独裁的合意」の境界を与える可能性がある．
- game-theoretic な対応は一般的な evolutionary stability ではなく，まず Gibbard–Satterthwaite の strategy-proofness による dictatorship として扱うべきである．
- Arrow の独裁結論には unrestricted domain，IIA，Pareto，完全かつ推移的な社会順序，有限 electorate などの仮定がある．
## Goal
保存クラスをパラメータにした一般原理を探す：
> observer／aggregator が弱い exactness だけを保存すると generalized point や measure が現れ，すべての極限・純粋性・低次元整合性まで保存すると principal point に崩壊する．
これを定理化し，Riesz representation，Riesz–Markov–Kakutani，presheaf-topos の points/Cauchy points，Arrow，Gibbard–Satterthwaite，Kori–Watanabe no-go theorem を「observer の representability と principalization」という一つの物語に置く．既存瓶 [[egzqw4]] の coskeletality による no-go 統一を，単なる rigidity から representability theorem へ押し進める．