Internal hom for Conway addition
## Trigger
Hora, *Games as recursive coalgebras* の Question 5.7 と公式 Problems 5.0.5 にある公開問題を、issue #43 の下書き10/Nから移した。同論文は、impartial games の圏 \(\mathbf{Game}\) 上の Conway addition が symmetric monoidal closed であることを抽象的に示すが、対応する internal hom の具体形は与えていない。
## Idea
固定した game \(G\) に対し、Conway addition による関手
\[
G+(-):\mathbf{Game}\longrightarrow\mathbf{Game}
\]
の右随伴 \([G,-]_+\) を、recursive coalgebra として直接記述したい。具体的には \([G,H]_+\) の positions と moves、evaluation
\[
G+[G,H]_+\longrightarrow H
\]
および currying
\[
\mathbf{Game}(G+K,H)\cong \mathbf{Game}(K,[G,H]_+)
\]
を直接記述し、その game-theoretic な意味を明らかにする。
## Known partial structure
右随伴の存在は、\(\mathbf{Game}\) の局所有限表示可能性と \(G+(-)\) の余極限保存性から adjoint functor theorem により従う。
さらに cofree game \(R(S)\) の明示式から、\(S=\operatorname{Set}(UG,UH)\) とした \(R(S)\) の部分gameとして internal hom を作る候補がある。position \(t=(T,a)\) を「有限個の子position \(T\) と関数 \(a:UG\to UH\) をラベルに持つ hereditarily finite set」とし、
\[
\theta_H(a(g))
=\{a(g')\mid g'\in\theta_G(g)\}
\cup\{a_{t'}(g)\mid t'\in T\}
\]
を全ての \(g\) と子孫positionで満たすものだけを取る。このとき \(\operatorname{ev}(g,t)=a(g)\) が evaluation の候補になる。これは本瓶の調査で得た formal reduction であり、普遍性の完全な検証と、より簡潔で game-theoretic な記述が必要である。
Joyal の partisan games では player を交換する双対性を用いた closedness があり、比較対象になる。ただし、impartial games を recursive coalgebras として扱う現在の圏で同じ式がそのまま internal hom を与えるとは限らない。reflexive graphs 上の closed symmetric monoidal structures の分類手法も構成の手掛かりになりうるが、現時点で直接の解答ではない。また、Altman–Lipparini の games の環構造は異なる同値関係による商の上の代数構造であり、この categorical internal hom の問いとは区別する。
## Goal
上の cofree-subgame の候補式が currying bijection を与えることを検証し、計算しやすい形へ簡約する。さらに Joyal と coalgebraic strategy categories の \(-G+H\) との比較を通して、player-switching duality が recursive-coalgebra morphism の圏でどう現れるかを特定する。
## Personal context
これは洞の recursive coalgebra と combinatorial game の研究から直接生じた公開問題である。圏論的な存在証明をゲームとして読める構成に変えることは、この研究系列の次の具体的な一歩になる。
## References
- [Ryuya Hora, *Games as recursive coalgebras* (arXiv:2510.22886)](https://arxiv.org/abs/2510.22886)
- [André Joyal, *Remarks on the Theory of Two-Player Games* (1977; English translation)](https://bosker.wordpress.com/wp-content/uploads/2010/12/joyal-games.pdf)
- [Furio Honsell, Marina Lenisa, and Rekha Redamalla, *Categories of Coalgebraic Games*](https://users.dimi.uniud.it/~marina.lenisa/Papers/Soft-copy-pdf/mfcs12.pdf)
- [Krzysztof Kapulkin and Nathan Kershaw, *Closed symmetric monoidal structures on the category of graphs* (arXiv:2310.00493)](https://arxiv.org/abs/2310.00493)
- [Harry Altman and Paolo Lipparini, *A Ring structure on the Class of Combinatorial Games* (arXiv:2604.27847)](https://arxiv.org/abs/2604.27847)
- [Ryuya Hora, Problems](https://sites.google.com/view/ryuya-hora/problems)
## 2026-08-26 AI研究監査：明示的 internal hom の候補解
$S=\operatorname{Set}(UG,UH)$ とし，cofree game $R(S)$ の position を $t=(T,a_t)$（有限な子集合 $T$ とラベル $a_t:UG\to UH$）と書く．$[G,H]_+$ を，すべての子が再帰的に $[G,H]_+$ に属し，かつ任意の $g\in G$ について
\[
\theta_H(a_t(g))
=\{a_t(g')\mid g'\in\theta_G(g)\}
\cup\{a_{t'}(g)\mid t'\in T\}
\]
を満たす $R(S)$ の部分 game とする．このとき
\[
\operatorname{ev}(g,t)=a_t(g)
\]
は game morphism であり，自然同型
\[
\mathbf{Game}(G+K,H)\cong\mathbf{Game}(K,[G,H]_+)
\]
を与える．
実際，$f:G+K\to H$ に対し $a_k(g)=f(g,k)$ と置き，
\[
\lambda f(k)=\bigl(\{\lambda f(k')\mid k'\in\theta_K(k)\},a_k\bigr)
\]
と再帰的に定めれば，上の等式はちょうど $f$ の coalgebra equation になる．逆向きは evaluation との合成であり，両者が逆であることは cofree adjunction の一意性から従う．
これは Question 5.7 の完全解候補である．新規性と細部は人間による再検証が必要．