Aperiodic cycle rank

## Trigger 2026-07-24のChatGPT会話「幾何的手法」で、洞が *Transition Graphs and the Star-Height of Regular Events* を読む文脈で「否定があるから Boolean algebra、Stone duality、profinite monoid が現れる。その面白さを活用し、aperiodic cycle rank を定義したい」と提案した。2026-08-27のChatGPT履歴採掘でその問いを再発見した。 ## Question Eggan の cycle rank は、通常の star height と有限 automaton の graph 構造を結ぶ。generalized star height では complement が入るため、単なる有向graphのcycle数では Boolean 演算と profinite 構造を見失う。 そこで、次を同時に満たす **aperiodic cycle rank** または **Boolean cycle rank** を定義できないか。 1. 通常のgraph cycle rankへ忘却すると Eggan 型の上界を回復する。 2. star-free 言語、すなわち aperiodic monoid による観測を「高さ0」の豊かなlabelとして扱う。 3. complement・Boolean closure・quotient で不変または非増大。 4. language の generalized star height に対する上界を与え、可能なら最小表現の不変量として特徴づける。 5. Stone duality または free profinite monoid 上で、aperiodic quotient による切断と循環の層として読める。 ## First model star-free language をlabelに持つ有限 automaton、または状態間をaperiodicな言語で結ぶ enriched graph を考える。状態除去のときに発生するstarの層数をrankとし、Boolean演算は同一階層内の操作として吸収する。これは定義候補であり、不変性はまだ証明されていない。 ## Evidence boundary この瓶は洞自身の問いを保存するもので、定理や先行研究上の新規性を主張しない。関連文献の系統調査、定義の Morita 不変性、generalized star height との厳密な不等式は全て未解決である。 ## Goal Weis L2、F₂₀、および小さなDFAをcalibration例にして、通常のcycle rankでは区別できないが generalized star height では異なる構造を検出できる最小の定義を作る。 ## Personal context [[xadbpa]] の closure/isotropy と [[rkysd8]] の word-game language は実験対象になるが、この瓶がそれらから生まれたわけではない。