自由monoidのcohomology
## Trigger
[[u7jfpc]] の離散力学系トポスの cohomology を，[[da9hkj]] の automata/language topoi へ拡張する最初の基準計算として，自由 monoid \(\Sigma^*\) の cohomology を完全に計算した．
## Result
**定理（free-monoid cohomology）．** 非空 alphabet \(\Sigma\) と free monoid \(M=\Sigma^*\) を取る．\(A\) を左 \(\mathbb Z[M]\)-module とし，各 generator \(a\in\Sigma\) の作用を \(T_a:A\to A\) と書く．このとき
\[
H^0(M;A)=\{x\in A\mid T_ax=x\ \forall a\in\Sigma\},
\]
\[
H^1(M;A)
\cong
A^\Sigma/
\{(T_ax-x)_{a\in\Sigma}\mid x\in A\},
\]
かつ
\[
H^q(M;A)=0\qquad(q\ge2).
\]
従って \(\Sigma\ne\varnothing\) なら \(\operatorname{cd}(\Sigma^*)=1\) である．
## Proof
\(R=\mathbb Z[M]\) と置き，左 \(R\)-modules の列
\[
0\longrightarrow\bigoplus_{a\in\Sigma}Re_a
\xrightarrow{d}R
\xrightarrow{\varepsilon}\mathbb Z
\longrightarrow0,
\qquad d(e_a)=a-1
\]
を考える．任意の word \(w=a_1\cdots a_n\) に対し
\[
w-1=(a_1-1)+a_1(a_2-1)+\cdots+a_1\cdots a_{n-1}(a_n-1),
\]
従って \(\operatorname{im}d=\ker\varepsilon\) である．
\(d\) の injectivity を示す．\(\sum_ar_ae_a\in\ker d\) とし，係数 \(r_a\) に現れる word length の最大値を \(N\) とする．\(\sum_ar_a(a-1)\) の length \(N+1\) の項は \(r_aa\) からしか来ない．word \(ua\) の最後の letter \(a\) は一意なので，その係数は \(r_a\) における \(u\) の係数である．よって最高次数の係数はすべて0であり，下降帰納法により各 \(r_a=0\) である．
従って上は projective resolution である．\(\operatorname{Hom}_R(-,A)\) を適用すると
\[
0\longrightarrow A
\xrightarrow{\delta}A^\Sigma
\longrightarrow0,
\qquad
\delta(x)=(T_ax-x)_{a\in\Sigma}
\]
を得る．その kernel と cokernel が \(H^0,H^1\)，高次は0である．trivial module \(A=\mathbb Z\) では \(\delta=0\) なので \(H^1\cong\mathbb Z^\Sigma\ne0\) であり，cohomological dimension は正確に1である．
## Interpretation
\[
\boxed{
\text{alphabet の大きさは }H^1\text{ の横幅を増やすが，cohomological degree は増やさない}
}
\]
\(\Sigma=\{t\}\) では
\[
H^0=\ker(T-1),\qquad H^1=\operatorname{coker}(T-1)
\]
という \(\mathbb N\)-action の公式を回収する．
## Next step
hyperconnected quotient \(q:\Sigma\text{-}\mathbf{Set}\to\mathcal H\) に対する Leray spectral sequence は，高次方向が1段しかないため短完全列へ退化する可能性が高い．quotient ごとの \(R^1q_*\) の計算が次の核心である．
## Status
基準計算は証明済み．regular-language quotient topoi 自体の cohomology は未計算である．