局所monoはnon-singular

## Trigger [[b7m4yk]] の問い「Kock–Moerdijk の local monomorphism と Menni の non-singular map（\(\xi_B\circ f=\xi_A\)）は一致するか」について，2026-08-27 の追記は 2026-03 の Menni 往復で洞が述べた証明スケッチ（mono なら等号，一般には jointly epimorphic な部分対象族への分解）を「まず厳密化・検証するのが次の一手」としていた．2026-09-07 の scheduled run（Claude）でこれを一般の Grothendieck topos で証明し，あわせて同じ追記に残っていた Menni の周辺問題 (1)「任意の \(X\) から locally monic 射がただ一つ存在する対象 \(K\)」を，瓶に記録されている形のままで完全に解いた（定理 B．存在は \(\xi_\Xi=\mathrm{id}\) と同値で，一般には不成立）．技法は [[qdhgdp]] と同じ site 上の元計算．新規性チェックは Menni 論文に対してのみ実施． ## Setting and conventions \(\mathcal E=\mathbf{Sh}(C,J)\)，\(a\dashv i\) を sheafification，\(\eta\) をその unit とする．TAC 42-11（Def. 3.18–Prop. 3.21）に従い，\(\Xi_0(c)\) を \(ay(c)\) の quotient（co-subobject，同型で同一視）全体，\(f:c'\to c\) に沿う制限 \(q\cdot f\) を \(q\circ ay(f)\) の epi part，\(\Xi=a\Xi_0\)，\(\xi_X=\eta_{\Xi_0}\circ\operatorname{orb}_X\)，\(\operatorname{orb}_X(x)=q_x\)（\(\lceil x\rceil:ay(c)\to X\) の epi–mono 分解 \(ay(c)\xrightarrow{q_x}\langle x\rangle\xrightarrow{\iota_x}X\)）とする．順序は [[qdhgdp]] と同じ（identity quotient が bottom）． **Kock–Moerdijk の locally monic**（*Presentations of étendues*, Def. 1.1 を base \(\mathbf{Set}\) で読んだもの．原文の Sets の場合の説明：“\(A'\) is an \(I\)-indexed family \(A_i\) of subobjects of \(A\), covering \(A\), and such that for each \(i\in I\), the restriction of \(f\) to \(A_i\) is monic”）：\(f:A\to B\) が locally monic とは，jointly epimorphic な subobject 族 \(\{A_i\rightarrowtail A\}_{i\in I}\) で各 \(f|_{A_i}:A_i\to B\) が mono となるものが存在すること． **Menni の non-singular**（arXiv:2505.07131, Def. 5.1, 5.8）：\(\xi_A=\xi_B\circ f\)．一般に \(\xi_A\preceq\xi_B\circ f\)（TAC 42-11 Lemma 2.1）なので，non-singular とは逆向きの不等式のことである． **標準事実．** (S1) 前層 \(P\) と \(p,p'\in P(c)\) について \(\eta(p)=\eta(p')\) iff ある cover \(\{f_i:c_i\to c\}\) 上で \(p\cdot f_i=p'\cdot f_i\)（plus construction は局所的に等しい元をちょうど同一視し，\(P^+\to P^{++}\) は単射）． (S2) \(\mathbf{Sh}(C,J)\) で族 \(\{h_j:Y_j\to X\}\) が jointly epi iff locally jointly surjective：任意の \(x\in X(c)\) に cover \(\{g_k\}\) と \(y_k\in Y_{j_k}(c_k)\) があって \(h_{j_k}(y_k)=x\cdot g_k\)． (S3) \(q_x\cdot g=q_{x g}\)（\(\lceil xg\rceil=\iota_x q_x\,ay(g)\) で \(q_x\,ay(g)=m e\) と分解すれば \(\iota_x m\) は mono，よって \(q_{xg}=e=q_x\cdot g\)）． ## Theorem A（local mono = non-singular） **定理 A．** Grothendieck topos \(\mathcal E\) の射 \(f:X\to Y\) について次は同値． 1. \(\xi_X=\xi_Y\circ f\)（Menni の non-singular）． 2. \(f\) は Kock–Moerdijk の意味で locally monic． 3. \(\{S\rightarrowtail X\mid f|_S\text{ is mono}\}\) が jointly epi． 4. 任意の \(c\) と \(x\in X(c)\) に対し cover \(\{g_j:c_j\to c\}\) があって，各 \(j\) で \(f\circ\iota_{xg_j}:\langle xg_j\rangle\to Y\) が mono． **証明．** (2)⇔(3)：(3)⇒(2) は自明．(2)⇒(3)：\(f|_{A_i}\) が mono なら \(A_i\) は (3) の族に属する． (3)⇒(4)：\(x\in X(c)\) に (S2) を適用して cover \(\{g_j\}\)，\(S_j\rightarrowtail X\)（\(f|_{S_j}\) mono），\(s_j\in S_j(c_j)\) で \(s_j\mapsto xg_j\) を取る．\(\lceil xg_j\rceil\) は \(S_j\) を経由するので \(\langle xg_j\rangle\subseteq S_j\)，よって \(f|_{\langle xg_j\rangle}\) は mono． (4)⇒(3)：族 \(\{\langle xg_j\rangle\rightarrowtail X\}_{c,x,j}\) は \(xg_j\in\langle xg_j\rangle(c_j)\) により locally jointly surjective，(S2) より jointly epi． (4)⇒(1)：\(x\in X(c)\)，cover \(\{g_j\}\) を (4) のとおり取る．\(f\iota_{xg_j}\) が mono なので \(\lceil f(x)g_j\rceil=f\iota_{xg_j}q_{xg_j}\) は epi–mono 分解であり，分解の一意性から \(q_{f(x)g_j}=q_{xg_j}\in\Xi_0(c_j)\)．(S3) より \[ \xi_Y(f(x))\cdot g_j=\eta(q_{f(x)g_j})=\eta(q_{xg_j})=\xi_X(x)\cdot g_j\quad(\forall j), \] \(\Xi\) は sheaf（特に separated）なので \(\xi_Y(f(x))=\xi_X(x)\)． (1)⇒(4)：\(x\in X(c)\) とする．\(\eta(q_{f(x)})=\xi_Y(f(x))=\xi_X(x)=\eta(q_x)\) なので (S1) と (S3) により cover \(\{g_j\}\) 上で \(q_{f(x)g_j}=q_{xg_j}\)，すなわち同型 \(\varphi_j:\langle xg_j\rangle\to\langle f(x)g_j\rangle\) で \(\varphi_jq_{xg_j}=q_{f(x)g_j}\) なるものがある．このとき \[ f\iota_{xg_j}q_{xg_j}=\lceil f(x)g_j\rceil=\iota_{f(x)g_j}q_{f(x)g_j}=\iota_{f(x)g_j}\varphi_jq_{xg_j} \] で \(q_{xg_j}\) は epi なので \(f\iota_{xg_j}=\iota_{f(x)g_j}\varphi_j\)，これは mono．∎ ## Corollaries of Theorem A 1. **Menni の結果の locally monic への移植．** 固定余域 \(Y\) 上の locally monic 射の全部分圏 \(\mathcal E/Y\) は topos で，包含は hyperconnected geometric morphism の inverse image（Menni Thm. 6.4）．また locally monic 射は任意の shell に関して cartesian（Menni Prop. 5.9）． 2. **左消去．** \(f\circ g\) が locally monic なら \(g\) も locally monic（\(\xi_X\preceq\xi_Yg\preceq\xi_Zfg=\xi_X\) と \(\preceq_\Xi\) の反対称性）．合成閉性は \(\xi\) の等式から直ちに従う．pullback 安定性（K–M Prop. 1.3）は (3) から：\(f|_{S}\) が mono なら \(S\times_XX'=S\times_YY'\) 上の \(f'\) はその pullback で mono，jointly epi 族は pullback で保たれる． 3. **前層トポス．** \([C^{op},\mathbf{Set}]\) では jointly epi = 各点で jointly surjective なので，(3) に (S2) を当てると \(f\) が locally monic iff 任意の \(x\in X(c)\) について \(f|_{\langle x\rangle}\) が mono（「各 orbit 上で mono」）．\(G\text{-}\mathbf{Set}\) では iff \(\operatorname{Stab}(f(x))=\operatorname{Stab}(x)\)（\(\forall x\)）． 4. **torsion-free 対象（K–M Def. 1.9）．** \(\beta_c:=\xi_{ay(c)}(\mathrm{id}_c)=\eta(\mathrm{id}_{ay(c)})\in\Xi(c)\) とおく．\(B\) が torsion-free（\(B\) への全ての射が locally monic）iff 任意の \(c\)，\(b\in B(c)\) について \(\lceil b\rceil:ay(c)\to B\) が locally monic iff 任意の \(c\)，\(b\in B(c)\) について \(\xi_B(b)=\beta_c\)．（第1の⇒は自明．第2の⇒は定理 A を \(\lceil b\rceil\) に適用し \(\mathrm{id}_c\) で評価．最後⇒最初：任意の \(g:X\to B\)，\(x\in X(c)\) で \(\beta_c\preceq\eta(q_x)=\xi_X(x)\preceq\xi_B(gx)=\beta_c\)．最初の不等式は \(\Xi_0(c)\) で \(\mathrm{id}\preceq q_x\) かつ \(\eta\) が順序を保つことによる．） ⚠️ 一般の site では \(\beta_c\) は \(\Xi(c)\) の最小元ではなく \(c\) について自然でもない（離散群 \(G\) の \(G\text{-}\mathbf{Set}\) を全 orbit \(G/U\) の site（atomic topology）で見ると \(\beta_{G/U}=U\) だが \(\Xi(G/U)=\{V\mid U\subseteq N_G(V)\}\ni\{1\}\)．profinite 群でも同様で，\(\{1\}\) を \(U\) に正規化される open \(V\subsetneq U\) に取り替えればよい）．site の射が全て mono のとき（K–M/Lawvere–Rosenthal により étendue と同値）は \(ay(f)\) が mono なので \(\beta_c\cdot f=\beta_{c'}\)，つまり \(\beta\) は global section で，これが [[j9bcyf]] の global bottom \(\bot\) である（各 \(u\in\Xi(c)\) は局所的に \(\eta(q)\succeq\beta\) の形で \(\preceq_\Xi\) は subsheaf）．従って étendue を all-mono site で表したとき，[[qdhgdp]] 系 2 の \(T_B=\xi_B^*(\bot)\) は \(B\) の最大 torsion-free 部分対象である． 5. **slice formula との整合．** [[e568dw]] の \(D_X=\{(x,u)\mid u\preceq\xi_X(x)\}\) について，canonical mono \(c_f:D_X\hookrightarrow f^*D_Y=\{(x,u)\mid u\preceq\xi_Y(f(x))\}\) が同型 iff \(\xi_Y f\preceq\xi_X\) iff \(f\) locally monic． ## Theorem B（Menni の問い (1)：locally monic 射の終対象） \(\mathbf{LM}(\mathcal E)\) を \(\mathcal E\) の対象と locally monic 射のなす圏とする（定理 A の系 2 と合成閉性により圏をなす）． **定理 B．** Grothendieck topos \(\mathcal E\) について次は同値． 1. \(\mathbf{LM}(\mathcal E)\) が終対象 \(K\) を持つ（任意の \(X\) から \(K\) への locally monic 射がただ一つ）． 2. \(\xi_\Xi=\mathrm{id}_\Xi\)． このとき \(\xi_K:K\to\Xi\) は同型であり，特に \(K\cong\Xi\)． **証明．** (2)⇒(1)：\(K=\Xi\) とする．定理 A により \(g:X\to\Xi\) が locally monic iff \(\xi_\Xi g=\xi_X\) iff \(g=\xi_X\)． (1)⇒(2)：\(t_X:X\to K\) を唯一の locally monic 射とする．mono は locally monic なので，任意の mono \(m:X\rightarrowtail X'\) に対し \(t_{X'}m\) は locally monic（合成閉性），よって \(t_{X'}m=t_X\)．すなわち \((t_X)_X\) は \(\mathcal E_{\mathrm{mono}}\to\mathcal E\) 上の cocone であり，\(\Xi=\operatorname{colim}\) の普遍性から唯一の \(\varphi:\Xi\to K\) で \(\varphi\xi_X=t_X\)（\(\forall X\)）が存在する．定理 A により \(\xi_Kt_X=\xi_X\) なので \(\xi_K\varphi\xi_X=\xi_X\)（\(\forall X\)），colimit の射影 \((\xi_X)_X\) は jointly epi なので \(\xi_K\varphi=\mathrm{id}_\Xi\)．次に \(\xi_K(\varphi\xi_K)=\xi_K\) だから \(\varphi\xi_K:K\to K\) は non-singular，定理 A により locally monic，よって一意性から \(\varphi\xi_K=t_K=\mathrm{id}_K\)（\(\mathrm{id}_K\) は mono）．従って \(\xi_K\) は同型．最後に \(\xi_K\) は mono なので non-singular：\(\xi_\Xi\xi_K=\xi_K\)，両辺に \(\xi_K^{-1}\) を右から掛けて \(\xi_\Xi=\mathrm{id}_\Xi\)．∎ **系（反例）．** \(G\) を非自明群とすると \(G\text{-}\mathbf{Set}\) では \(\Xi=\operatorname{Sub}(G)\)（conjugation 作用），\(\xi_\Xi(H)=\operatorname{Stab}(H)=N_G(H)\)．\(N_G(\{1\})=G\neq\{1\}\) なので \(\xi_\Xi\neq\mathrm{id}\)，よって \(\mathbf{LM}(G\text{-}\mathbf{Set})\) は終対象を持たない．直接的にも：locally monic な \(G\to K\) は mono（\(G\) の subobject で \(1\) を含むものは \(G\) 自身）で，free element \(k\in K\) が一つあれば \(h\mapsto hk\) と \(h\mapsto hgk\)（\(g\neq1\)）は相異なる二つの mono．同様に \(\mathbb N\text{-}\mathbf{Set}\) でも \(\xi_\Xi\neq\mathrm{id}\)（cycle 長 \(n\ge2\) の quotient \(\rho_{n,r}\) は \(\lceil\rho_{n,r}\rceil:\mathbb N\to\Xi\) が \(m\ge r\) で定数になるため \(\xi_\Xi(\rho_{n,r})=\rho_{1,r}\)）． 逆に \(\Xi\) が terminal な topos（localic，TAC 42-11）や，より一般に \(\xi_\Xi=\mathrm{id}\) となる topos では \(\Xi\) 自身が \(\mathbf{LM}\) の終対象．「\(\xi_\Xi=\mathrm{id}\)」は [[w5rft4]] の言う LSC の冪等性そのものであり，Menni の問い (1) は「LSC はいつ冪等か」に帰着する． ## Slogan non-singular とは「\(f\) が各 local state を保つ」こと，locally monic とは「\(f\) が各 orbit 上で（局所的に）単射」なこと．定理 A はこの二つが同じ主張だと言う．\(\xi\) は「orbit の形」を記録する不変量なので，orbit を潰さない射がちょうど \(\xi\) を保つ． ## Verification - 定理 A の (4)⇒(1) で「epi–mono 分解の一意性」を co-subobject の同一視（同型類）として使っている．\(\Xi_0(c)\) は同型類の集合なので問題ない． - (1)⇒(4) は (S1) に依存する．(S1) は sheafification が \(P\mapsto P^{++}\) で与えられ \(P^+\) が separated であることによる（MacLane–Moerdijk III.5）． - Kock–Moerdijk の定義は numdam の PDF から要約で確認した（相対版 Def. 1.1 の base \(\mathbf{Set}\) 特殊化，および原文の Sets の場合の説明文）．原文 Def. 1.1 の可換四角の向きは要再確認だが，Sets の説明文で採用した定義は確定している． - Menni arXiv:2505.07131 には locally monic への言及がない（要約による確認）．定理 A の内容は Menni 論文には含まれない．ただし [[b7m4yk]] 追記のとおり，主張自体は 2026-03 の Menni 往復で洞がスケッチしていたもので，本瓶はその厳密化にあたる． - 反例側の計算（\(G\text{-}\mathbf{Set}\) の \(\xi_\Xi=N_G\)）は TAC 42-11 の \(G\text{-}\mathbf{Set}\) の例（\(\Xi=\) 部分群，\(\xi=\) stabilizer）に基づく． - 2026-09-07 に別の Claude subagent が adversarial に査読：定理 A・B と反例は正しいと判定．指摘を受けて系 2 の pullback 安定性の論法，系 3 の cover の記述，系 4 の例の群の条件（離散／profinite），系 5 の \(D_X\) の定義を修正済み．系 1 の Menni の定理番号は原論文で要再確認． ## References - [Ryuya Hora, *Internal Parameterization of Hyperconnected Quotients* (TAC 42-11)](https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/42/11/42-11abs.html) - [Matías Menni, *Non-singular maps in toposes with a local state classifier* (arXiv:2505.07131)](https://arxiv.org/abs/2505.07131) - [Anders Kock and Ieke Moerdijk, *Presentations of étendues*, Cahiers 32 (1991)](https://www.numdam.org/item/CTGDC_1991__32_2_145_0.pdf) - [Anders Kock and Ieke Moerdijk, *Every étendue comes from a local equivalence relation*, JPAA 82 (1992)](https://doi.org/10.1016/0022-4049(92)90118-Y) ## 未解決・次の一手 - **Menni の問い (2)**：locally monic かつ discrete fibre を持つ射（固定余域上）の圏が topos か．定理 A と Menni Thm. 6.4 により discrete fibre 条件なしの locally monic 射の圏 \(\mathbf{LM}(\mathcal E)/Y\)（\(=\mathcal N(Y)\)）は topos．discrete fibre 条件が Menni の hyperconnected 商の中でどの subtopos を切り出すかが残る． - **\(\xi_\Xi=\mathrm{id}\) となる topos の分類**：localic は十分条件．前層トポスでの必要十分条件（\(C\) の各 quotient \(q\) について \(q\cdot f=q\cdot g\Rightarrow q(f)=q(g)\)）を site の言葉で整理する．[[w5rft4]] と統合すべき． - **相対版**：base topos 上の locally monic（K–M の相対版 Def. 1.1）と Nivar の relative LSC の等式の一致（[[mhv4sn]] の étale branch）．