The object of normal subgroups
## Trigger
旧HP Problems 1.2.2（2026-04-27版）と issue #43 の下書き14/Nから移した。normalization operator を使うと、任意の topos で群作用トポスの「正規部分群全体」に対応する部分対象を定義できるという観察が出発点である。
## Idea
local state classifier \(\Xi\) の normalization operator を
\[
\nu:=\xi_\Xi:\Xi\to\Xi
\]
とし、\(\top:\Xi\to\Xi\) を最大元へ送る射とする。自然な候補
\[
\operatorname{NorSub}(\mathcal E):=\operatorname{Eq}(\nu,\top)\rightarrowtail\Xi
\]
を「normal local states の対象」と呼ぶとき、これは \(\mathcal E\) のどのような幾何的・群論的データを分類するか？
group action topos \(\mathbf{PSh}(G)\) では、\(\Xi\) は共役作用を持つ部分群全体、\(\nu(H)=N_G(H)\) である。したがって \(\nu(H)=G\) は \(H\trianglelefteq G\) と同値で、上の equalizer は通常の正規部分群全体を回収する。
## Known distinctions
- \(\operatorname{Eq}(\nu,\top)\) は正規部分群に対応する。一方、\(\operatorname{Eq}(\nu,\mathrm{id}_\Xi)\) は group case では self-normalizing subgroups に対応し、別の対象である。
- arXiv:2511.05012 は normalization operator、群作用の場合の normalizer、normalization lemma \(\mathrm{id}_\Xi\leq\nu\) を確立するが、上の equalizer の分類普遍性までは与えていない。
- 公式 Problems は group action case で正規部分群と essential connected geometric morphisms の関係を動機として挙げる。ただし一般化には、幾何射の向き・余域・同値関係を明示した representability の定式化が必要である。
- topos の isotropy group は隣接する既存理論だが、\(\operatorname{NorSub}(\mathcal E)\subseteq\Xi\) と同じ対象ではない。両者の間の写像や作用は別途構成する必要がある。
## Goal
まず group action topoi で、正規部分群に対応する幾何射のデータを関手として正確に書き、\(\operatorname{NorSub}(\mathcal E)\) がそれを表現するか検証する。その後、presheaf topoi、continuous group actions、isotropy quotient をテストケースとして、一般の topos における分類対象と必要な追加構造を特定する。
## Personal context
normalization operator 論文の自然な次の問いであり、\(\Omega\) による subobject 分類、\(\Xi\) の internal filters による hyperconnected quotient 分類に続く「分類対象」の候補である。ただし、この三者が同じ型の分類定理を持つことはまだ仮定しない。
## References
- [Ryuya Hora, *Normalization of a subgroup, in a topos, and of a word-congruence*](https://arxiv.org/abs/2511.05012)
- [Simon Henry, *The localic isotropy group of a topos*](https://arxiv.org/abs/1706.04835)
## 旧HP Problems 1.2.1 の吸収（2026-07-14）
旧HPでは次の問いとして記録されていた。
> In the topos of \(G\)-actions, \(\Xi\) is the \(G\)-set of subgroups of \(G\), and the canonical morphism \(\xi:\Xi\to\Xi\) is the normalizer operator. How does this operator look in other topoi?
補足は、\(\xi\) は一般に恒等射ではなく、群作用の場合が動機的な例だと述べていた。
この問いの前段は arXiv:2511.05012 によって具体化された。同論文は local state classifier を持つ任意の圏で \(\nu=\xi_\Xi:\Xi\to\Xi\) を normalization operator と定義し、群作用トポスでは \(H\mapsto N_G(H)\) と一致する。本瓶はこの作用素を起点に、\(\operatorname{Eq}(\nu,\top)\) が一般のトポスで何を分類するかという次の未解決問題を保持する。したがって旧1.2.1は別瓶にせず、本瓶の先行段階として吸収する。
- 旧ID: 1.2.1
- 旧テーマ: Normalizer operator
- 旧分類: informal question
- 旧タグ: normalizer, group actions, subgroups
- 旧出典: [ryuya-hora-homepage `scripts/site.js`（commit `1b8b74c`, lines 630–638）](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c/scripts/site.js#L630-L638)
## 旧HP Problems 1.0.6 の吸収（2026-07-14）
旧HPでは次の問いとして記録されていた。
> Is there a direct connection between local state classifiers and the isotropy group of a topos?
旧HPのdescriptionは次のとおり。
> A short problem linking local states to topos-theoretic isotropy.
本瓶はすでに、normal local statesの対象 \(\operatorname{NorSub}(\mathcal E)\subseteq\Xi\) とtoposのisotropy groupは同一ではないと区別したうえで、両者の間の写像や作用を構成する必要を記している。Goalでもisotropy quotientをテストケースに含めている。したがって、旧1.0.6の広い接続問題は本瓶が保持する未解決部分に含まれると判断し、別瓶にせず吸収する。
- 旧ID: 1.0.6
- 旧テーマ: Local state classifier
- 旧分類: informal question
- 旧タグ: isotropy, topos
- [旧出典 `scripts/site.js` 745–752行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L745-L752)
- 取り下げ済みPR #33の候補UID `ewupmf` はmain未収録のため、archived瓶を新設しない。
## 2026-08-26 AI研究監査：群作用 test case
$G$-Set では local state classifier は共役作用付き subgroup object
\[
\Xi=\operatorname{Sub}(G)
\]
であり，normalization map $\nu=\xi_\Xi$ は
\[
\nu(H)=N_G(H)
\]
（normalizer）で与えられる．従って
\[
\operatorname{Eq}(\nu,\top)
=\{N\le G\mid N_G(N)=G\}
=\{N\trianglelefteq G\}
\]
は normal subgroups の離散部分対象である．
さらに normal subgroup $N$ が生成する principal internal filter $\uparrow N$ は essential hyperconnected quotient
\[
(G/N)\text{-Set}\longrightarrow G\text{-Set}
\]
に対応する．これは「normal subgroup object」と principal internal filters の対応の群作用 test case を完全に記述する．一般の topos では principal 性の内在的特徴づけが残る．
## 2026-09-08 AI研究継続：NorSub の内在的同定（[[um88u4]]）
- **Theorem.** 任意の Grothendieck topos で \(\operatorname{NorSub}(\mathcal E)=\operatorname{Eq}(\nu,\top)=\Xi^{\mathrm{st}}\)（\(\Xi\) の subterminal な subobject 全体の union）．より一般に任意の \(Y\) で \(\operatorname{Eq}(\xi_Y,\top_Y)=Y^{\mathrm{st}}\)．証明は，一点 filter \(\{\top\}\) に対応する hyperconnected quotient が localic reflection \(\mathbf{Sh}(\operatorname{Sub}1)\) であり，その像が subterminal の union からなることによる．
- **presheaf topos.** \(\operatorname{NorSub}(c)\cong\mathcal E(\operatorname{supp}y(c),\Xi)\)，global sections \(\Gamma(\Xi)\) は「商圏の射がすべて mono になる congruence」，すなわち **étendue である essential hyperconnected quotient** と一対一（Rosenthal 1981 と [[kg9sny]] の既知定理を使用）．monoid では「商が left-cancellative な two-sided congruence」．
- 「principal 性の内在的特徴づけ」は presheaf の場合こう答えられる：principal filter \(\uparrow s\)（\(s\in\Gamma(\Xi)\)）\(\iff\) 対応する quotient が étendue（\(\uparrow s\) が \(s\) を global bottom に持つ）．一般 topos への拡張は [[j9bcyf]] の bottom criterion に帰着．