x²=x³合同類の局所正則性

## Trigger この瓶の出発点である「\(x^2=x^3\) で生成される各合同類は正則か」という問いは **Pin Problems 8–9に由来し、洞の発案ではない**。2026-08-27の採掘作業で、hora-tex の進捗台帳から、この既知問題に対して手元で得た \([V_2]\) の正則性、equal-boundary移送、因子graphによる部分結果を回収した。 ## Known open problem 有限 alphabet \(A\) 上の自由 monoid \(A^*\) に、全ての語 \(x\) に対し \(x^2=x^3\) を課して生成される congruence を考える。**各 congruence class は正則言語か。** 既知と未解決の境界は次の通り。 - \(n\ge 3,m>0\): 全classが正則。 - \(n=2,m>1\): 一般には正則でない。 - \(n=2,m=1\): overlap-free または almost overlap-free な代表元を含むclassは正則。 - \(n=2,m=1\) の全class: 未解決。 ## Local progress 2026-08-06までのlocal研究では、nonloop length-two-factor graph がacyclicな語のclassを正則表現で書き下した。また、特定の固定class \([V_2]\) の正則性と、代表元の境界が一致する場合に正則性を移す equal-boundary transfer が記録されている。本瓶の中心は既知問題の再掲ではなく、この三つの局所的な到達点である。 **既知の結果**は上に列挙した \(n,m\) ごとの境界である。**今回の証明候補**はacyclic因子graphの場合、\([V_2]\)、equal-boundary移送に限られる。これらは distinct-boundary case、\([U_2]\)、および全classの正則性を証明しない。各local lemmaの内部監査はあるが、全体としての独立査読と新規性調査は未了である。 ## Goal 語を長さ2の因子graphと境界dataに分け、既証のacyclic部分からcyclic profileへ正則性を延長する。延長できない最小のclassが見つかれば、それを反例候補として分離する。