Prodiscrete Galois monoids

## Trigger 非公開の Topoi of automata II 草稿に置かれた予想を、issue #43 の下書き7/Nから独立した問いとして保存する。草稿中での採否や証明状況はここでは確定しない。 ## Idea 適切な閉性条件を満たす言語クラス \(C\) に対し、標準的な topological monoid \(M_C\) と、alphabet \(A\) 上の free monoidからの準同型 \[ A^*\longrightarrow M_C \] を構成できるか。さらに \(M_C\) を prodiscrete に選び、この準同型から \(C\) に対応する topos への hyperconnected geometric morphismを復元できるか。 正規言語の local variety では、Uramoto の semi-Galois category と profinite monoid の双対が先行例を与える。一般の言語クラスでは、Rogers が hyperconnected morphism \(\mathbf{PSh}(A^*)\to\mathcal E\) から complete powder monoid を構成するが、それがこの問題で要求する prodiscrete model と標準性を直ちに与えるわけではない。 ## Goal 言語クラスから Galois 的 monoid とその action topos を再構成する手順を定理として定式化する。まず、対象とする \(C\) の閉性条件、\(M_C\) の普遍性、写像 \(A^*\to M_C\) の稠密性、得られる topos の同値までを分離して検証する。 ## Personal context Topoi of automata 系列における「言語クラス・hyperconnected quotient・syntactic monoid」の対応を、profinite な正規言語の範囲を越えて調べるための問いである。非公開草稿由来なので、公開前には問題設定と記号を草稿本体と照合する。 ## References - [Takeo Uramoto, *Semi-galois Categories I: The Classical Eilenberg Variety Theory*](https://arxiv.org/abs/1512.04389) - [Morgan Rogers, *Toposes of Topological Monoid Actions*](https://arxiv.org/abs/2105.00772) - [Ryuya Hora, *Topoi of automata I: Four topoi of automata and regular languages*](https://arxiv.org/abs/2411.06358)