Sylver Coinage 初手16

## Trigger 「有名でシンプルな組合せゲームの未解決問題を一つ完全に解く」という探索から，Sylver Coinage の古典的な問い > 最初に 16 を選ぶと，先手は勝てるか． を最短の完全解決候補として選んだ．2026年の 6–16 Tables でも，単独位置 `{16}` は未解決の例外として残っている． ## Question Sylver Coinage の位置 `{16}` は N 位置か P 位置か．言い換えると，初手16は先手の勝ち手か． 現在の第一候補は，後手の応答26による否定である． > **候補:** `{16,26}` は P 位置である． これが証明できれば，後手は初手16に26と返せるので，初手16は勝ち手ではないと完全に決着する． ## Global route `{16,26}=2\{8,13\}` と置く．`\langle 8,13\rangle` は Frobenius 数83の quiet ender なので，Quiet End Theorem により `{16,26}` の無限個の奇数手を有限個へ落とせる．厳密に残るのは，奇数手3から83までの41枝と，`\langle 8,13\rangle` の42個の gap を2倍した偶数手の枝，合計83枝である． 2026-08-25時点で，奇数41枝をすべて含む66枝は，Quiet End Theoremまたは gcd 1 の完全gap再帰によって閉じた．未決は17個の偶数枝である．詳細，反例，機械検証の意味，正確な再開地点は `reports/qkvxgy/2026-08-25_research.md` に分離する． ## Goal 局所的な小補題を増やすのではなく，次のいずれかを完了する． 1. 残る17枝をすべて N と証明し，`{16,26}` が P であること，従って初手16が負け手であることを証明する． 2. 残る枝の一つが P なら `{16,26}` 路線を棄却し，その明示的反例を保ったうえで別の第二手候補へ移る． ## Boundary - 現在は `{16,26}` の P 性も，初手16の勝敗も未解決である． - 有限cutoffの gcd 2 solver 出力は証明に使わない．実際，低精度solverが示した応答12には明示反例がある． - 「66/83枝を閉じた」は機械検証を含む研究checkpointであり，数学的な完全解決ではない．