Quotients vs local varieties

## Trigger 非公開の Topoi of automata II 草稿に置かれた予想を、issue #43 の下書き8/Nから独立した問いとして保存する。草稿における証明状況や採否は確定事項として扱わない。 ## Idea 有限 alphabet \(A\) に対し、orbit-finite \(A^*\)-sets の Grothendieck toposを \(\mathcal E_{\mathrm{of}}(A)\) と書く。この topos の hyperconnected quotients の完備束は、次の既知の完備束と標準的に同型か。 1. \(A\) 上の regular languages の local varieties 2. \(A\)-generated finite monoids の local pseudovarieties 古典的な local Eilenberg theorem は 1 と 2 の束同型を与える。問いたいのは、\(\mathcal E_{\mathrm{of}}(A)\) の全 hyperconnected quotientsがその対応をちょうど topos 論的に実現するか、である。 ## Goal 各 local variety \(V\) から hyperconnected quotient \(\mathcal E_{\mathrm{of}}(A)\to\mathcal E_V\) を構成し、逆に各 quotientから language classを復元する。二つの操作が互いに逆で、包含順序・meet・joinを保つことまで示す。 ## Personal context Topoi of automata I が公開した orbit-finite topos と、classical Eilenberg theoryを「toposの商」で直接つなぐ候補である。非公開草稿由来なので、公開前には \(\mathcal E_{\mathrm{of}}(A)\) の記号、quotientの向き、local varietyの閉性条件を草稿本体と照合する。 ## References - [Jiří Adámek, Stefan Milius, Robert S. R. Myers and Henning Urbat, *Generalized Eilenberg Theorem I: Local Varieties of Languages*](https://arxiv.org/abs/1501.02834) - [Takeo Uramoto, *Semi-galois Categories I: The Classical Eilenberg Variety Theory*](https://arxiv.org/abs/1512.04389) - [Ryuya Hora, *Topoi of automata I: Four topoi of automata and regular languages*](https://arxiv.org/abs/2411.06358)