Totally disconnected topoi

## Trigger 公式 Problems 3.0.1 と旧HP Problems（2026-04-27版）にある逆問題を、issue #43 の下書き16/Nから移した。 ## Idea Grothendieck topos \(\mathcal E\) を、\(\mathcal E\) から出る connected geometric morphismがすべて equivalence であるとき totally disconnected と呼ぶ。これは \(\mathcal E\) が非自明な quotient toposを持たない、という条件である。 既知の方向として、totally disconnected な Grothendieck topos は、totally disconnected locale \(L\) 上の sheaf topos \(\mathbf{Sh}(L)\) と同値になる。逆に、\(L\) が totally disconnected locale なら \(\mathbf{Sh}(L)\) は上の意味で totally disconnected か。 ## Goal 逆向きを証明するか反例を構成する。まず localic topos \(\mathbf{Sh}(L)\) からの connected quotientsを locale側の構成へ翻訳し、\(L\) の connected sublocalesが点だけであることが、それらを全て自明にするか調べる。 逆が成り立たない場合は、追加すべき locale側の条件を特定して iff の特徴づけに直す。 ## Personal context quotient topoiの一般論における「非自明な商が存在しない側」の構造問題である。totally disconnected、zero-dimensional、totally separated は一般には同じ語ではないため、証明ではそれぞれを区別する。 ## References - [Ryuya Hora, Problems 3.0.1](https://sites.google.com/view/ryuya-hora/problems) - [Yuhi Kamio and Ryuya Hora, *Solution to Lawvere's first problem*](https://arxiv.org/abs/2407.17105) - [Olivia Caramello, *A topos-theoretic approach to Stone-type dualities*](https://arxiv.org/abs/1103.3493) - [Georgi Dimov and Elza Ivanova-Dimova, *Two extensions of the Stone Duality to the category of zero-dimensional Hausdorff spaces*](https://arxiv.org/abs/1901.04537) ## hora-tex 調査（2026-08-16） Notion「研究テーマ」DBに `Totally disconnected topoi`（優先度★★★★、進行状況 Not started、coresearcher 欄は空）というページがあるが、本文は空で、問い自体は本瓶がすでに持っている。 新しく分かったのは草稿の所在である。 - `overleaf/Totally disconnected topoi/`（`Ver1/` あり）