Finite presheaf topoi

## Trigger 旧HP Problems 6.0.1（theme: Elementary topoi）から移住する公開問題。Jeremie Marquesと議論され、enumerative combinatoricsとBurnside riegsに動機づけられたと旧HPに記録されている。`created` は取り下げ済みPR #33の移住候補から暫定的に引き継ぎ、正確な着想日は不明。 ## Idea For a small category \(\mathcal{C}\), when is its finite presheaf category \(\mathbf{fPSh}(\mathcal{C})=[\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) an elementary topos, or a locally cartesian closed category? If \(\mathcal{C}\) is finite or a group, \(\mathbf{fPSh}(\mathcal{C})\) is known to be a topos. More generally, if every slice \(\mathcal{C}/c\) is essentially finite, then \(\mathbf{fPSh}(\mathcal{C})\) is a topos. This question has been discussed with Jeremie Marques and is motivated by enumerative combinatorics and Burnside riegs. ## Goal small category \(\mathcal C\)について、\(\mathbf{fPSh}(\mathcal C)\)がelementary toposまたはlocally cartesian closed categoryになる条件を明らかにする。 ## Personal context 旧タグはfinite presheaf、locally cartesian closed、Burnside rieg。Burnside riegsへの明記された動機により、slogan `riegs` に束ねる。旧一覧以後の進展は未確認であり、棚卸し待ちとして `status: dormant` とする。 ## Provenance - 旧ID: 6.0.1 - 旧分類: formal question - [旧出典 `scripts/site.js` 941–951行](https://github.com/hora-algebra/ryuya-hora-homepage/blob/1b8b74c2b3447bdc744a0cac256c5d5806588adc/scripts/site.js#L941-L951) - Ideaの2段落は旧HPのstatement / descriptionをそのまま保持した。 ## Notion からの追記（2026-08-16） Notion「研究テーマ」DBの `When is a finite presheaf category a topos?`（優先度 Active、進行状況 ●●○、共著 Jeremie Marques）に残っていた材料を移す。 - 「(essentially) finite category はそう。群もそう。一般には？ \(\mathbb N\) はだめ。species は ok なわけで」——上の Idea にある十分条件の、具体例による確認にあたる - 「前層圏の subobject classifier が住んでるかでどのくらい分かるだろ。ダメそうじゃね？ \(\omega\) とか simplex とか」——subobject classifier の所在を判定基準にする案。\(\omega\) や simplex では否定的という見立て - 「さらには、\(\mathbf{FinSet}\) で必ず limit を持つような圏のクラスを考え、コンマ圏がその形になるという条件を考えたい」 - 文献ポインタ: Elephant 2.2.22、および *A Criterion for Categories on which eve...*（原メモではタイトルが途中で切れている） 同ページにあった「Lex Comonad を用いて、Right Kan extension の存在に帰着する」は、洞の判断で独立した瓶へ切り出した。 ## 2026-08-26 AI研究監査：二つの必要十分条件と十分条件 $\mathbf{fPSh}(\mathcal C)$ を finite-valued presheaves $F:\mathcal C^{op}\to\mathbf{FinSet}$ の full subcategory とする．finite limits は pointwise に存在する． - ambient presheaf topos の subobject classifier $\Omega$ が finite-valued であることと，各 $c\in\mathcal C$ 上の sieve が有限個しかないことは同値． - $F,G\in\mathbf{fPSh}(\mathcal C)$ に対する exponential $G^F$ が finite-valued であることと，任意の $c$ について \[ \operatorname{Nat}(y(c)\times F,G) \] が有限であることは同値． 従って，すべての slice $\mathcal C/c$ が essentially finite なら通常の presheaf formula が finite-valued に留まり，$\mathbf{fPSh}(\mathcal C)$ は elementary topos になる．一方，reverse ordinal の uncountable cofinality の例から，slice に finite weakly initial family があるという単純条件は必要でない． 完全分類は，各 slice category のすべての finite representations に対し，limit と natural-transformation set が有限になる条件の分類へ帰着する．