Infinite-word points of Σ-Set
## Trigger
GoodNotesの手書きノート *topoi of automata and Infinite words and* を復号して再発見した構想。ノートは、Moore machineと言語の標準的な対応から出発し、\(\Sigma\)-Setの非標準的なpointsをinfinite wordsで構成し、それらを一つのgeometric morphismへ束ねようとしている。
手書きの判読に不確かな箇所があるため、以下は明瞭に読めた数式と見出しに限定した再構成である。
## Idea
alphabet \(\Sigma\) と infinite word
\[
\alpha=a_0a_1a_2\cdots\in\Sigma^\omega
\]
を固定する。\(\Sigma\)-set、すなわち transition structure \((Q,\delta)\) に対し、\(\alpha\) に沿ったeventual-state functorを
\[
ES_\alpha(Q,\delta)
:=\operatorname*{colim}
\bigl(
Q\xrightarrow{a_0}Q\xrightarrow{a_1}Q\xrightarrow{a_2}\cdots
\bigr)
\]
で定める。手書きノートでは、\(ES_\alpha:\Sigma\text{-}\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}\) がpointを定める、という命題が置かれている。
これらを個別のpointsとして並べるだけでなく、Cantor/Baire型のinfinite-word space上のsheafとして束ねる構想が記録されている。具体的には、canonical geometric morphism
\[
\gamma:\mathbf{Sh}(\Sigma^\omega)\longrightarrow \Sigma\text{-}\mathbf{Set}
\]
であって、各 \(\alpha\in\Sigma^\omega\) におけるfiber/stalkが
\[
\bigl(\gamma^*(Q,\delta)\bigr)_\alpha\cong ES_\alpha(Q,\delta)
\]
となるものを考える。
geometric intuitionは、free-monoid treeの各infinite branchに沿ってstatesを順次同一視し、そのeventual behaviorをbranchごとのfiberとして集める、というものである。
## Questions
- この \(\gamma\) の普遍性・factorization-theoreticな特徴づけは何か。
- infinite wordsから得られるpointsの同型条件を、finite edit / eventual-tail equivalenceとしてどのように正確に記述するか。
- \(\gamma\) と、\(\mathbf{PSh}(\Sigma^*)\) のsubtopoiをself-similar sublocalesで分類する構想 [[afv3c6]] は、localic reflectionまたはétendueの構造を介して直接結びつくか。
- ノートのfuture workにあるJónsson--Tarski algebrasは、このgeometric morphismまたは\(\Sigma^\omega\)の自己相似性をどのように代数化するか。
## Goal
個々のnon-canonical pointの集合論的分類だけでなく、それらをparameterizeするlocale/toposを取り出す。これにより、pointsの分類 [[rjcp4h]] とsubtopoiの分類 [[afv3c6]] の間にある幾何学的構造を明示する。
## Personal context
洞の *Topoi of automata* では、canonical pointがMoore machineのresult functionとMyhill--Nerode theoryを生む。ここでの \(ES_\alpha\) と \(\gamma\) は、canonical point以外のpointsをinfinite inputsのeventual behaviorとして理解するための候補である。
## Provenance
- source: `topoi_of_automata_and_infinite_words.goodnotes`
- recovered with an open-source GoodNotes parser on 2026-07-22
- relevant handwritten pages: Moore machines and the canonical point (pp. 2--3), questions on other points and infinite words (p. 4), \(ES_\alpha\) (p. 5), geometric morphism \(\gamma\) (p. 6)
## 2026-07-23: テーマ分離後の射程
この瓶は、**infinite wordsによるpointsとそのparameter spaceの幾何**だけを担当する。\(\gamma_*\Omega\)から受理を作る問題は [[w4k7mz]] に分離し、subtopoiの分類は [[afv3c6]] に残す。
先行研究との比較から、個々のinfinite wordがpointを与えることや、pointsの同型類をcommon-tail relationで捉えること自体には既存のmonoid-action toposのpoint/groupoid theoryがある。したがって新規性候補は、次のより具体的な同定に置く。
1. GoodNotesから復元した \(ES_\alpha\) を、既知のflat functor / point presentationと明示的に一致させる。
2. \(\gamma\) をJónsson--Tarski étendueの標準chart
\[
\mathbf{Sh}(\Sigma^\omega)\simeq \mathbf{JT}_\Sigma/F(1)
\longrightarrow \mathbf{JT}_\Sigma
\longrightarrow \Sigma\text{-}\mathbf{Set}
\]
と同定する。
3. このchartと、word localeのself-similar sublocalesによるsubtopos分類 [[afv3c6]] の関係を、étendueまたはlocalic reflectionを介して記述する。
この瓶ではacceptance conditionsを扱わず、observer/point、stalk、common-tail groupoid、Cantor chartに集中する。
## Notion からの吸収（2026-08-16）
Notion「研究テーマ」DBの `Topoi of automata and Infinite words`（優先度★★★★、進行状況 Writing、coresearcher 欄は空、Subfield 欄は topology・combinatorics・computer science）を、洞の判断でこの瓶へ吸収した。Notion のページに本文は無い。
本瓶の Trigger にある手書きノート「topoi of automata and Infinite words and」と同じタイトルであり、同じ構想を指すと読める。新しく分かったのは次の二点である。
- Notion 側で進行状況が **Writing** になっている（手書きノートの段階を越えて執筆に入っている）
- hora-tex に `papers/topoi-for-automata-wakate` がある