力学系商toposのcohomology
## Trigger
[[u7jfpc]] は，離散力学系の topos $\mathcal E=\mathbf{Set}^{B\mathbb N}$（$\mathbb N$-set，すなわち集合と自己写像）の cohomology と，その hyperconnected quotient $q:\mathcal E\to\mathcal H$ の cohomology を Leray spectral sequence で比べることを提案していた．[[kq6mc8]] は自由 monoid の基準計算を終え，「quotient ごとの $R^1q_*$ の計算が次の核心」と書き残していた．本瓶はその次の一手を $\mathbb N$-set について最後まで実行したものである（2026-09-07，scheduled run による AI 研究．未監査）．
結論を一言で言うと，**hyperconnected quotient の cohomology は係数の「周期部分」しか見ない**．quotient を指定する2つのパラメータ（尾の長さ $\nu$ と周期の supernatural number $N$）のうち，cohomology に効くのは $N$ だけであり，答えは procyclic group $\mathbb Z_N$ の連続 cohomology になる．
## Setting
$\mathbb N$-set $X$ の元 $x$ の **type** を，$x$ の生成する部分 $\mathbb N$-set の同型類，すなわち $\mathbb N$ の商 $\mathbb N/\!\sim$ で表す．$\mathbb N$ の congruence は恒等（free orbit，type $\infty$）か，または $n\sim n+p$ で生成されるもの（$n\ge0$，$p\ge1$；pre-period $n$，period $p$，type $(n,p)$）である．
$(n,p)$ に対し $f_{n,p}=t^{n}(t^{p}-1)\in\mathbb Z[t]$，$R_{n,p}=\mathbb Z[t]/(f_{n,p})$ と書く．$\mathbb Z[t]$-module（＝$\mathbb N$-set の圏の abelian group object）$M$ の元 $m$ が type $\le(n,p)$（coarser）であることと $f_{n,p}m=0$ は同値である．
**Hora–Kamio の分類（再導出）．** $\mathcal E$ の quotient は $\mathbb N\times\mathbb N^{\mathrm{div}}$ の ideal で分類される（Hora–Kamio, *Quotient toposes of discrete dynamical systems*, JPAA 2024, arXiv:2310.02647, Theorem 5.23）．積 poset の ideal は ideal の積なので，これは対 $(\nu,N)$，$\nu\in\mathbb N\cup\{\infty\}$，$N\in\{\text{supernatural numbers}\}\cup\{0\}$ と同じである．本 run では hyperconnected な場合を LSC の言葉で直接再導出した：hyperconnected quotient は type の集合 $S\subset\Xi$ で「$(0,1)\in S$，coarsening で閉，$(n,p),(m,q)\in S\Rightarrow(\max(n,m),\operatorname{lcm}(p,q))\in S$」を満たすものと一対一に対応し，coarsening と product-closure を合わせると pre-period の上限 $\nu$ は period によらず一定になるので，$S=\{(n,p)\mid n\le\nu,\ p\mid N\}$ の形に限る．対応する quotient を
$$\mathcal H_{\nu,N}=\{X\in\mathbb N\text{-}\mathbf{Set}\mid \forall x\in X,\ \exists n\le\nu,\ \exists p\mid N,\ T^{n+p}x=T^{n}x\}$$
と書く（$\mathcal H_{0,1}=\mathbf{Set}$，$\mathcal H_{0,N}=\mathrm{Cont}(\mathbb Z_N)$，$\mathcal H_{\infty,N_{\mathrm{all}}}$ は eventually periodic systems の topos）．$N=0$ に当たる quotient（例：$\mathbb Z$-$\mathbf{Set}$）は connected だが hyperconnected ではない（Hora–Kamio Prop. 3.10 の「period が非零」条件に相当）．論文の番号付けとの対応は洞の再確認を要する．
$\mathbb Z_N:=\varprojlim_{p\mid N}\mathbb Z/p$（$N$ が有限なら $\mathbb Z/N$，$N=\prod\ell^{\infty}$ なら $\widehat{\mathbb Z}$）．$\mathbb N$-set の圏の中で「周期 $p\mid N$ の periodic な元だけからなる対象」の全部分圏は $\mathrm{Cont}(\mathbb Z_N)$（profinite group $\mathbb Z_N$ の連続作用の topos）と同値である．
## Theorem 1（hyperconnected quotient の direct image の derived functor）
$q:\mathcal E\to\mathcal H_{\nu,N}$ を hyperconnected quotient とする．$M$ を $\mathbb Z[t]$-module とすると，
$$q_*M=\bigcup_{n\le\nu,\ p\mid N}\ker(f_{n,p}:M\to M),\qquad
R^{1}q_*M\;\cong\;\varinjlim_{(n,p)\le(\nu,N)}M/f_{n,p}M,\qquad
R^{i}q_*M=0\ (i\ge2).$$
ここで colimit は有向集合 $\{(n,p)\mid n\le\nu,\ p\mid N\}$（積順序）上でとり，$(n,p)\le(m,q)$ に対する遷移射は $f_{m,q}/f_{n,p}=t^{m-n}(t^{q}-1)/(t^{p}-1)$ 倍である．$(\nu,N)$ が有限なら $q_*M=\ker f_{\nu,N}$，$R^{1}q_*M=M/f_{\nu,N}M$．
したがって Leray spectral sequence $E_2^{a,b}=H^{a}(\mathcal H_{\nu,N};R^{b}q_*M)\Rightarrow H^{a+b}(\mathcal E;M)$ は2行しかなく，$H^{\ge2}(\mathcal E;-)=0$ と合わせて次に退化する：
$$0\to H^{1}(\mathcal H_{\nu,N};q_*M)\to \underbrace{M/(t-1)M}_{H^{1}(\mathcal E;M)}\xrightarrow{\ \varepsilon\ }\bigl(R^{1}q_*M\bigr)^{T}\to H^{2}(\mathcal H_{\nu,N};q_*M)\to0,$$
$$H^{a+2}(\mathcal H_{\nu,N};q_*M)\;\cong\;H^{a}(\mathcal H_{\nu,N};R^{1}q_*M)\qquad(a\ge1).$$
edge map $\varepsilon$ は，level $(n,p)$ で $m\mapsto t^{n}\sigma_p m$（$\sigma_p=1+t+\dots+t^{p-1}$）で与えられる．
## Theorem 2（主定理：cohomology は周期部分しか見ない）
$A$ を $\mathcal H_{\nu,N}$ の abelian group object とする．$A$ は $\mathbb Z[t]$-module として自然に
$$A=A_{\mathrm{nil}}\oplus A_{\mathrm{per}},\qquad A_{\mathrm{nil}}=\bigcup_{n\le\nu}\ker t^{n},\qquad A_{\mathrm{per}}=\bigcup_{p\mid N}\ker(t^{p}-1)$$
と分解し，$A_{\mathrm{per}}$ は discrete $\mathbb Z_N$-module である．このとき全ての $n\ge0$ について
$$H^{n}(\mathcal H_{\nu,N};A)\;\cong\;H^{n}(\mathrm{Cont}(\mathbb Z_N);A_{\mathrm{per}})\;=\;H^{n}_{\mathrm{cont}}(\mathbb Z_N;A_{\mathrm{per}}).$$
言い換えると，「周期部分をとる」geometric morphism $\pi:\mathcal H_{\nu,N}\to\mathrm{Cont}(\mathbb Z_N)$ の直像 $\pi_*$ は完全で，$\pi$ は全ての abelian 係数について cohomology の同型を誘導する．特に $\nu$ は cohomology に一切影響しない．
**系（cohomological dimension）．** Serre（*Cohomologie galoisienne*, Ch. I §3–4）の profinite group の結果を経由して：
- $N=1$（eventually fixed systems，$\nu$ 任意）：$H^{n}(\mathcal H_{\nu,1};A)=0$ $(n\ge1)$．すなわち acyclic．
- $N$ 有限 $\ge2$：$H^{n}$ は $n\ge1$ で2周期（巡回群 $\mathbb Z/N$ の cohomology），cohomological dimension は $\infty$．
- $N=\prod_{\ell\in S}\ell^{\infty}$（$S\ne\varnothing$，torsion-free の場合）：$\mathrm{cd}(\mathbb Z_N)=1$，strict cd は $2$．
- $N$ がある素数 $\ell$ について $0<v_\ell(N)<\infty$ を満たす：$\mathbb Z_N$ が torsion をもつので cd は $\infty$．
**例（$\mathbb Z$ 係数）．** 全ての $(\nu,N)$ について $H^{1}(\mathcal H_{\nu,N};\mathbb Z)=0$，$H^{2}(\mathcal H_{\nu,N};\mathbb Z)\cong\mathbb Z[1/N]/\mathbb Z=\bigcup_{p\mid N}\tfrac1p\mathbb Z/\mathbb Z$（$=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\mathbb Z_N,\mathbb Q/\mathbb Z)$）．Theorem 1 の $R^{1}q_*\mathbb Z=\varinjlim(\mathbb Z,\times q/p)=\mathbb Z[1/N]$ と edge map＝包含からも直接出て，Theorem 2 と整合する．一方 $H^{1}(\mathcal E;\mathbb Z)=\mathbb Z$ であり，$\mathbb Z$-torsor（$T(z)=z+c$）は quotient に落ちると $c=0$ しか残らない，という幾何的事実に対応する．
## Proposition 3（有限の場合の周期的 free resolution）
$(\nu,N)$ が有限なら $\mathcal H_{\nu,N}=M_{\nu,N}\text{-}\mathbf{Set}$，$M_{\nu,N}=\langle t\mid t^{\nu+N}=t^{\nu}\rangle$（有限巡回 monoid），$\mathbf{Ab}(\mathcal H_{\nu,N})=R\text{-Mod}$，$R=R_{\nu,N}$．trivial module $\mathbb Z=R/(t-1)$ は周期2の free resolution
$$\cdots\xrightarrow{t-1}R\xrightarrow{t^{\nu}\sigma_N}R\xrightarrow{t-1}R\to\mathbb Z\to0$$
をもつ．従って $R$-module $A$ に対し
$$H^{0}=A^{T},\qquad H^{2k+1}=\ker(t^{\nu}\sigma_N)/(t-1)A,\qquad H^{2k+2}=A^{T}/t^{\nu}\sigma_N A\quad(k\ge0).$$
$\nu=0$ は巡回群 $\mathbb Z/N$ の標準計算そのものである．中国剰余定理 $R\cong\mathbb Z[t]/(t^{\nu})\times\mathbb Z[\mathbb Z/N]$ により $A=A_{\mathrm{nil}}\oplus A_{\mathrm{per}}$ で，$A_{\mathrm{nil}}$ 上では $t-1$ が可逆かつ $A_{\mathrm{nil}}^{T}=0$ なので，上の公式は Theorem 2 の有限版を独立に再現する．
## Proposition 4（hyperconnected でない connected quotient：$\mathbb Z$-$\mathbf{Set}$）
$q:\mathcal E\to\mathbb Z\text{-}\mathbf{Set}$（$q^{*}$＝制限，$q_*$＝coinduction $\operatorname{Hom}_{\mathbb Z[t]}(\mathbb Z[t^{\pm1}],-)$）に対し，
$$q_*M=\varprojlim(\cdots\xrightarrow{t}M\xrightarrow{t}M),\qquad R^{1}q_*M=\varprojlim{}^{1}(\cdots\xrightarrow{t}M\xrightarrow{t}M),\qquad R^{\ge2}q_*=0.$$
Leray から，任意の $\mathbb Z[t]$-module $M$ について完全列
$$0\to\bigl(\varprojlim{}_{t}M\bigr)_{T}\to M/(t-1)M\to\bigl(\varprojlim{}^{1}_{t}M\bigr)^{T}\to0$$
が得られ，さらに $t-1$ は $\varprojlim^{1}_{t}M$ 上で全射である（$H^{1}(\mathbb Z;\varprojlim^{1}M)\cong H^{3}(\mathbb Z;q_*M)=0$ より）．
## Proofs
**Theorem 1.** $q^{*}$ は包含で完全，$q_*$ はその右随伴．$(\nu,N)$ 有限のとき $q_*M=\operatorname{Hom}_{\mathbb Z[t]}(R_{\nu,N},M)$ で，$0\to\mathbb Z[t]\xrightarrow{f}\mathbb Z[t]\to R_{\nu,N}\to0$ は free resolution なので $R^{i}q_*M=\operatorname{Ext}^{i}_{\mathbb Z[t]}(R_{\nu,N},M)$ は $i=0,1$ でそれぞれ $\ker f$，$\operatorname{coker}f$，$i\ge2$ で $0$（$\mathbf{Ab}(\mathcal H)$ は $\mathbf{Ab}(\mathcal E)$ の kernel・cokernel で閉じた full subcategory なので，cohomology は $\mathbb Z[t]$-Mod で計算してよい）．一般の $(\nu,N)$ では $q_*=\varinjlim_{(n,p)}\operatorname{Hom}(R_{n,p},-)$ が filtered colimit で，$\mathbf{Ab}$ の filtered colimit は完全だから $R^{i}q_*=\varinjlim\operatorname{Ext}^{i}(R_{n,p},-)$．遷移射は resolution の比較 $\phi$ with $f_{n,p}\phi=f_{m,q}$ から $f_{m,q}/f_{n,p}$ 倍．2行の spectral sequence が $H^{\ge2}(\mathcal E;-)=0$ に収束するので $d_2:E_2^{a,1}\to E_2^{a+2,0}$ は $a\ge1$ で同型，$a=0$ で全射，その kernel が $H^{1}(\mathcal E)/H^{1}(\mathcal H)$．edge map は augmentation $R_{n,p}\to\mathbb Z$ を resolution に持ち上げると $(t-1)\phi=f_{n,p}$，$\phi=t^{n}\sigma_p$．
**Theorem 2.** (i) 分解：$a\in A$ はある $f_{n,p}$（$n\le\nu$，$p\mid N$）で消える．$\mathbb Z[t]$ は UFD で $t^{n}$ と $t^{p}-1$ は互いに素（$1=t^{kp}-(t^{p}-1)(1+t^{p}+\dots+t^{(k-1)p})$，$kp\ge n$）なので $R_{n,p}\cong\mathbb Z[t]/(t^{n})\times\mathbb Z[t]/(t^{p}-1)$ となり $a=a_{\mathrm{nil}}+a_{\mathrm{per}}$．$A_{\mathrm{nil}}\cap A_{\mathrm{per}}=0$ は $t^{k}a=0$，$t^{p}a=a\Rightarrow a=t^{kp}a=0$．両者は $t$-stable．(ii) 周期対象の全部分圏 $\mathrm{Cont}(\mathbb Z_N)\subset\mathcal H_{\nu,N}$ は有限極限と部分対象で閉じ，包含 $\pi^{*}$ は右随伴 $\pi_*(X)=\{x\in X\mid x\text{ periodic}\}$ をもつので $\pi$ は geometric morphism．abelian 対象上で $\pi_*A=A_{\mathrm{per}}$ であり，(i) の分解が自然なので $\pi_*$ は恒等関手の retract，ゆえに完全．(iii) $\pi_*$ は完全な左随伴 $\pi^{*}$ をもつので injective を保つ．よって Grothendieck spectral sequence は退化し $H^{n}(\mathcal H;A)=R^{n}\Gamma_{\mathrm{Cont}}(\pi_*A)=H^{n}(\mathrm{Cont}(\mathbb Z_N);A_{\mathrm{per}})$．(iv) profinite group の連続作用の topos の cohomology が連続 cohomology に一致することは標準的（例えば SGA4 / Moerdijk）．系は Serre の cd の結果（$\mathrm{cd}_\ell(\mathbb Z_\ell)=1$，torsion があれば $\mathrm{cd}=\infty$，$\mathrm{scd}\le\mathrm{cd}+1$）から従う．
**Proposition 3.** $\mathbb Z[t]$ が UFD で $f=t^{\nu}(t-1)\sigma_N$ だから，$(t-1)g\in(f)\iff g\in(t^{\nu}\sigma_N)$，$t^{\nu}\sigma_N g\in(f)\iff g\in(t-1)$．これが $R$ 上の2つの kernel の計算であり，列は完全．$\operatorname{Hom}_R(-,A)$ をとれば公式を得る．中国剰余定理は上と同じ．
**Proposition 4.** $\mathbb Z[t^{\pm1}]=\varinjlim(\mathbb Z[t]\xrightarrow{t}\mathbb Z[t]\xrightarrow{t}\cdots)$ の telescope $0\to\bigoplus\mathbb Z[t]\to\bigoplus\mathbb Z[t]\to\mathbb Z[t^{\pm1}]\to0$ に $\operatorname{Hom}(-,M)$ を当てると，各項が free なので $\operatorname{Ext}^{0}=\varprojlim$，$\operatorname{Ext}^{1}=\varprojlim^{1}$，$\operatorname{Ext}^{\ge2}=0$（Milnor 列）．$\mathbb Z$-$\mathbf{Set}$ の cohomology は群 $\mathbb Z$ の cohomology（$B^{T}$，$B/(t-1)B$，以降 $0$）なので Theorem 1 と同じ2行の議論が使える．
## Interpretation
$$\boxed{\ \text{hyperconnected quotient }\mathcal H_{\nu,N}\text{ の cohomology は，尾 }\nu\text{ を忘れて周期 }N\text{ の procyclic group だけを見る}\ }$$
$\mathcal E$ 自身（$\mathrm{cd}=1$，$H^{1}=\operatorname{coker}(t-1)$）から quotient に落ちると，$H^{1}$ は「$\mathbb Z_N$ の連続 cocycle に持ち上がる部分」だけに縮み，代わりに $H^{2}$ 以上に巡回群型の torsion が現れる．[[kq6mc8]] の標語「alphabet は $H^{1}$ の横幅だけを増やす」に対し，こちらは「quotient は $H^{1}$ を削って高次に周期性を送り込む」と言える．
## Unresolved / next steps
- $N=0$ で $\nu$ が有限の connected quotient（「高さ $\le\nu$ の後は可逆」）の $Rq_*$ と cohomology．Proposition 4 の $\varprojlim^{1}$ と Theorem 1 の有限 colimit が混ざる形になるはずだが未計算．
- [[kq6mc8]] の本来の目標である $\Sigma$-$\mathbf{Set}$（$|\Sigma|\ge2$）の hyperconnected quotient への拡張．「nil 部分は acyclic，周期部分（profinite quotient monoid の群部分）だけが cohomology を担う」という現象が一般の monoid でどこまで成り立つかが問い．[[h6q9vx]] の syntactic monoid との対応と接続しうる．
- Theorem 2 は $\pi_*$ の完全性という強い事実に依っている．一般の topos の hyperconnected quotient で「係数の分解 $A=A_{\mathrm{nil}}\oplus A_{\mathrm{per}}$」に相当するものが LSC $\Xi$ の言葉で書けるか（[[j4zrsg]] の germ 記述との関係）．
- 本瓶の主張は AI による導出で，人間の検算を経ていない．特に (a) Hora–Kamio の Theorem 5.23／Prop. 3.10 との対応，(b) Theorem 2 (ii) の $\pi$ が geometric morphism であること，(c) profinite group の topos cohomology＝連続 cohomology の引用，を優先して確認されたい．
## Status
Theorem 1，Theorem 2，Proposition 3，Proposition 4 は証明済み（AI 導出）．上記 next steps は未解決．