Eventual affine mex則
## Trigger
[[tfvjca]] と [[f98jzd]] で得た selective sum の eventual birthday phenomenon を，[[ffk2ts]] の mex 力学系も含む一般の well-founded game operation に抽象化した．
## Result
**定理（abstract eventual affine mex theorem）．** well-founded impartial games の二項 operation \(\diamond\) と test games \(H_k\) があり，次を満たすとする．
1. \(\operatorname{Gr}(H_k)=d(H_k)=k\)．
2. \(A\diamond H_k\) とその全 options は \(A\diamond H_{k+1}\) の options に含まれる．
3. \(d(A\diamond H_k)\le d(A)+k\)．
4. deepest option \(A'\) of \(A\) と任意の \(j\le k\) に対し，\(A'\diamond H_j\) は \(A\diamond H_k\) の option である．
このとき任意の finite short impartial game \(A\) について
\[
\boxed{
\operatorname{Gr}(A\diamond H_k)=k+d(A)
\qquad(k\gg0)
}
\]
が成り立つ．ここで \(d(A)\) は最大 play length である．
## Proof
\(f_A(k)=\operatorname{Gr}(A\diamond H_k)\) と置く．仮定2より，\(A\diamond H_{k+1}\) の options は \(A\diamond H_k\) とその全 options を含む．mex の定義から後者の Grundy values は \(0,\dots,f_A(k)-1\) を含み，前者自身が \(f_A(k)\) を与えるので
\[
f_A(k+1)>f_A(k).
\]
従って \(\delta_A(k)=f_A(k)-k\) は非減少である．一方，Grundy number は depth 以下なので
\[
f_A(k)\le d(A\diamond H_k)\le d(A)+k,
\]
よって \(\delta_A(k)\le d(A)\)．従って \(\delta_A(k)\) は最終的に定数 \(e\) になる．
\(d(A)=d>0\) とし，\(d(A')=d-1\) の option \(A'\) を取る．depth に関する帰納法により
\[
\operatorname{Gr}(A'\diamond H_j)=j+d-1\qquad(j\gg0).
\]
もし \(e\le d-1\) なら
\[
j=k+e-(d-1)\le k
\]
と取れる．仮定4より \(A'\diamond H_j\) は \(A\diamond H_k\) の option だが
\[
\operatorname{Gr}(A'\diamond H_j)=j+d-1=k+e=f_A(k),
\]
となり，position とその option が同じ Grundy number を持つという矛盾を得る．従って \(e=d\)．
## Selective-sum corollary
\(\diamond=\nabla\) を selective sum，\(H_k=*k\) を Nim heap とすると仮定1--4が成立し，
\[
\operatorname{Gr}(A\nabla*k)=k+d(A)\qquad(k\gg0).
\]
特に
\[
\boxed{
d(A)=\lim_{k\to\infty}\bigl(\operatorname{Gr}(A\nabla*k)-k\bigr)
}
\]
であり，selective contexts は birthday/depth を復元する．
## Interpretation
大きな test object との compound が eventual affine になる機構は，個別の floor formula ではなく，
- mex による strict growth；
- depth による upper bound；
- deepest option による lower forcing；
の三点で説明される．
## Status
抽象定理と selective-sum specialization は証明済み．他の game operations・rev-mex dynamics・misère analogues が仮定を満たすかは未調査である．