スケッチ #313

boundのLSC特徴づけ ## Trigger [[j9rqhb]] の 2026-08-26 監査は「\(B\) が bound \(\Leftrightarrow\) \(\xi_B\) が epi」を \(G\text{-}\mathbf{Set}\) の \(B=G\) で反証し，正しい置換候補として \[ B\text{ is a bound}\quad\Longleftrightarrow\quad \uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)=\Xi \] を提案したまま，一般の Grothendieck topos での定式化と証明を未完としていた．2026-09-07 の scheduled run（Claude）でこれを一般に証明した．新規性チェックは未実施． ## Setting and conventions \(\mathcal E=\mathbf{Sh}(C,J)\)，\(a\dashv i\) を sheafification，\(\eta\) をその unit とする．TAC 42-11（Def. 3.18–Prop. 3.21）に従い，\(\Xi_0(c)\) を \(ay(c)\) の co-subobject（quotient）\(q:ay(c)\twoheadrightarrow E\) 全体，\(f:c\to c'\) に沿う制限を \(q\circ ay(f)\) の epi part とし，\(\Xi=a\Xi_0\)，\(\xi_X=\eta_{\Xi_0}\circ\operatorname{orb}_X\)，\(\operatorname{orb}_X(x)=q_x\)（\(\lceil x\rceil:ay(c)\to X\) の epi–mono 分解 \(ay(c)\xrightarrow{q_x}\langle x\rangle\xrightarrow{\iota_x}X\)）とする． 順序（Ex. 3.28）：\(q_0\le q_1\) iff \(q_1\) が \(q_0\) を経由する．細かい quotient ほど小さく，identity quotient が bottom，\(ay(c)\twoheadrightarrow\operatorname{supp}(ay(c))\) が top．meet \(q_0\wedge_0q_1\) は \(\langle q_0,q_1\rangle:ay(c)\to E_0\times E_1\) の epi part．\(\Xi\) の internal meet \(\wedge\) は \(\wedge\circ(\xi_X\times\xi_Y)=\xi_{X\times Y}\) で特徴づけられ（Lemma 3.26），internal order \(\le_\Xi\rightarrowtail\Xi\times\Xi\) は \(\wedge\) と第一射影 \(\pi_1\) の equalizer． **bound**：任意の対象 \(X\) がある集合 \(I\) について \(B\times I\) の subquotient（\(S\rightarrowtail B\times I\)，\(S\twoheadrightarrow X\)）であること（Elephant B3.1.7）． **上方閉包**：subobject \(S\rightarrowtail\Xi\) に対し \(\uparrow\!S:=\operatorname{im}\bigl(\pi_2:S\times_\Xi(\le_\Xi)\to\Xi\bigr)\)，internal には \(\{v\mid\exists s\in S.\ s\le v\}\)．\(B\twoheadrightarrow\operatorname{im}\xi_B\) が epi で epi は pullback で安定なので，\(\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)\) は \(\{(b,v)\in B\times\Xi\mid\xi_B(b)\le v\}\xrightarrow{\pi_2}\Xi\) の image でもある． ## Theorem **定理．** Grothendieck topos \(\mathcal E\) と対象 \(B\) について \[ \boxed{\;B\text{ is a bound}\quad\Longleftrightarrow\quad\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)=\Xi\;} \] すなわち internal に \(\forall v\in\Xi\,\exists b\in B.\ \xi_B(b)\le v\)（\(B\) の local states が \(\Xi\) の中で下方に cofinal）． ## Proof **標準事実（MacLane–Moerdijk III.7）．** (S1) 前層 \(P\) に対し \(\eta_P:P\to aP\) は locally surjective：\(u\in(aP)(c)\) には cover \(\{f_i:c_i\to c\}\) と \(p_i\in P(c_i)\) があって \(u\cdot f_i=\eta(p_i)\)．また \(\eta(p)=\eta(p')\) iff \(p,p'\) がある cover 上で一致する． (S2) \(\mathbf{Sh}(C,J)\) で族 \(\{h_j:Y_j\to X\}\) が jointly epi iff locally jointly surjective．特に射の image は「局所的に当たる元」からなる． (S3) subsheaf は local membership で閉じる． **Lemma 0（bound = subobjects が生成）．** \(B\) が bound iff 任意の \(X\) に対し \(\{S\to X\mid S\rightarrowtail B\}\) が jointly epi． 証明：topos では coproduct が disjoint かつ universal なので \(\operatorname{Sub}(\coprod_IB)\cong\prod_I\operatorname{Sub}(B)\)，つまり \(S\rightarrowtail B\times I\) は \(\coprod_iS_i\)（\(S_i\rightarrowtail B\}）の形で，\(\coprod_iS_i\twoheadrightarrow X\) は jointly epi 族 \(S_i\to X\) と同じ．逆に jointly epi 族 \(\{S_j\to X\}_{j\in I}\)（\(\operatorname{Sub}(B)\) と hom が small なので集合）から，mono の coproduct が mono であることにより \(\coprod_jS_j\rightarrowtail B\times I\) と epi \(\coprod_jS_j\twoheadrightarrow X\) を得る．∎ **Lemma 1（\(\wedge=a(\wedge_0)\)，\(\le_\Xi=a(\le_0)\)）．** 各点 meet \(\wedge_0:\Xi_0\times\Xi_0\to\Xi_0\) は前層の射で，\(a\) が有限積を保つことによる \(a(\Xi_0\times\Xi_0)\cong\Xi\times\Xi\)，\(\eta_{\Xi_0\times\Xi_0}=\eta\times\eta\) の下で \(\wedge=a(\wedge_0)\)．従って \(\le_\Xi=a(\le_0)\)，ここで \(\le_0=\{(q,q')\mid q\le q'\}\)． 証明：自然性は，\((q_0\wedge_0q_1)\cdot f\) と \((q_0\cdot f)\wedge_0(q_1\cdot f)\) がともに \(\langle q_0,q_1\rangle\circ ay(f)\) の epi part であることから従う（\(E_0'\times E_1'\rightarrowtail E_0\times E_1\) が mono，\(E_i'=\operatorname{im}(q_i\circ ay(f))\)）．\(\Xi_0(c)\) の任意の元は \(q=q_e\)（\(e=q\circ\eta_{y(c)}\in E(c)\)）の形．\(x\in X(c),y\in Y(c)\) に対し \(\wedge(\eta q_x,\eta q_y)=\xi_{X\times Y}(x,y)=\eta(q_{(x,y)})\) で，\(q_{(x,y)}\) は \(\langle\lceil x\rceil,\lceil y\rceil\rangle\) の epi part，\(\langle x\rangle\times\langle y\rangle\rightarrowtail X\times Y\) が mono なのでこれは \(q_x\wedge_0q_y\)．よって \(\wedge\circ(\eta\times\eta)=\eta\circ\wedge_0\) が全ての元で成り立ち，\(\eta\times\eta\) の普遍性から \(\wedge=a(\wedge_0)\)．\(a\) は left exact なので \((\wedge_0,\pi_1)\) の equalizer を保ち，それは \(\le_0\)（\(q'=gq\) なら \(\langle q,q'\rangle=\langle\operatorname{id},g\rangle q\) で \(\langle\operatorname{id},g\rangle\) は split mono，逆は射影）．∎ **Lemma 2（orbit の順序 = 局所的な factorization）．** \(x\in X(c),y\in Y(c)\) について，\(\xi_X(x)\le\xi_Y(y)\) iff ある cover \(\{f_i:c_i\to c\}\) 上で各 \(q_{yf_i}\) が \(q_{xf_i}\) を経由する（\(r_i:\langle xf_i\rangle\to\langle yf_i\rangle\)，\(r_iq_{xf_i}=q_{yf_i}\)）． 証明：(⇐) \((q_{xf_i},q_{yf_i})\in\le_0(c_i)\)，naturality square \(\le_0\to\le_\Xi\) により \((\xi_Xx,\xi_Yy)\cdot f_i\in\le_\Xi(c_i)\)，(S3)．(⇒) Lemma 1 と \(\eta_{\le_0}\) への (S1) により cover \(f_i\) と \((q_i,q_i')\in\le_0(c_i)\) で \((\eta q_i,\eta q_i')=(\eta q_{xf_i},\eta q_{yf_i})\)．(S1) 後半より \(q_i\) と \(q_{xf_i}\)（\(q_i'\) と \(q_{yf_i}\)）はさらに cover 上で一致し，制限は \(\le_0\) を保つので，refine すれば主張を得る（\(q_{xf_i}\cdot g=q_{x(f_ig)}\) は \(\operatorname{orb}_X\) の自然性）．∎ **Lemma 3．** \(v\in\Xi(c)\) が \(\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)(c)\) に属する iff cover \(\{f_i\}\) と \(b_i\in B(c_i)\) があって \(\xi_B(b_i)\le v\cdot f_i\)．（(S2) を \(\{(b,v)\mid\xi_Bb\le v\}\to\Xi\) に適用．）∎ **Lemma 4．** 任意の \(v\in\Xi(c)\) は局所的に orbit：cover \(\{f_i\}\) と \(x_i\in X_i(c_i)\) で \(v\cdot f_i=\xi_{X_i}(x_i)\)．（\(\eta_{\Xi_0}\) への (S1) と \(q=\operatorname{orb}_E(e)\)．）∎ **定理の証明 (⇐)．** \(x\in X(c)\) とし \(v=\xi_X(x)\)．仮定と Lemma 3 から cover \(f_i\) と \(b_i\in B(c_i)\) で \(\xi_B(b_i)\le\xi_X(xf_i)\)．Lemma 2 により cover を refine し \(b_i\) をその制限で置き換えれば（\(\langle b_i\cdot g\rangle\rightarrowtail B\) はなお subobject），\(r_i:\langle b_i\rangle\to\langle xf_i\rangle\)，\(r_iq_{b_i}=q_{xf_i}\) が取れる．\(h_i:=\iota_{xf_i}\circ r_i:\langle b_i\rangle\to X\) は \(B\) の subobject からの射で，元 \(e_i:=q_{b_i}\eta_{y(c_i)}\in\langle b_i\rangle(c_i)\) を \(\iota_{xf_i}q_{xf_i}\eta_{y(c_i)}=xf_i\) に送る．よって \(\{S\to X\mid S\rightarrowtail B\}\) は locally jointly surjective，(S2) より jointly epi，Lemma 0 より \(B\) は bound． **(⇒)．** \(\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)\) は subsheaf なので Lemma 4 と (S3) により \(\xi_X(x)\in\uparrow\!\operatorname{im}(\xi_B)(c)\) を示せばよい．Lemma 0 と (S2) により cover \(\{g_j:d_j\to c\}\)，\(\sigma_j:S_j\rightarrowtail B\)，\(h_j:S_j\to X\)，\(s_j\in S_j(d_j)\) で \(h_j(s_j)=xg_j\)．\(b_j:=\sigma_j(s_j)\) とすると \(\sigma_j\) が mono なので \(q_{b_j}=q_{s_j}\)（Lemma 3.20 の cocone 性）．\(h_j\iota_{s_j}:\langle s_j\rangle\to X\) を \(\langle s_j\rangle\twoheadrightarrow I\rightarrowtail X\) と分解すると \(ay(d_j)\xrightarrow{q_{s_j}}\langle s_j\rangle\twoheadrightarrow I\rightarrowtail X\) は \(\lceil xg_j\rceil\) の epi–mono 分解なので \(I=\langle xg_j\rangle\) で \(q_{xg_j}\) は \(q_{b_j}\) を経由する，つまり \(q_{b_j}\le_0q_{xg_j}\)．Lemma 2（自明 cover）より \(\xi_B(b_j)\le\xi_X(x)\cdot g_j\)，Lemma 3 より結論．∎ ## Corollaries 1. **前層トポス．** \([C^{op},\mathbf{Set}]\) では，\(B\) が bound iff 各 \(c\) にある \(b\in B(c)\) で \(\lceil b\rceil:y(c)\to B\) が mono（\(\xi_B(b)=\bot_c\)），iff 全ての representable が \(B\) の subobject．（cover が自明なので \(\uparrow\!\operatorname{im}\xi_B(c)=\Xi(c)\) iff \(\bot_c\) がある \(\xi_B(b)\) 以上 iff \(\xi_B(b)=\bot_c\)．⚠️「\(\langle b\rangle\cong y(c)\)」と言い換えてはいけない：\(M=\operatorname{End}(\mathbb N)\)，\(u=\max(-\!-\!-1,0)\) は \(\lceil u\rceil:M\to M\) が epi かつ非 mono．） 2. **\(\Xi\) が global bottom を持つ場合**（[[j9bcyf]] によれば étendue と同値）．\(B\) が bound iff \(T_B:=\xi_B^*(\bot)=\{b\mid\xi_B(b)=\bot\}\rightarrowtail B\) が full support を持つ．（\(\uparrow\!\operatorname{im}\xi_B=\Xi\) iff \(\bot\in\uparrow\!\operatorname{im}\xi_B\) iff 局所的に \(\xi_B(b)=\bot\) なる \(b\) がある．）slice formula [[e568dw]] を認めれば \(\mathcal E/T_B\) は localic で，Kock–Moerdijk の「full support をもつ torsion-free object」を \(B\) から切り出す操作にあたる． 3. **連続 \(G\)-sets**（open subgroups が \(1\) の近傍基）．\(\Xi\) は open subgroups 全体（conjugation 作用．site 上では \(\Xi_0(G/U)=\{V\supseteq U\}\) で，sheafification 後に一致），\(\xi_B(b)=\operatorname{Stab}(b)\)．\(B\) が bound iff 任意の open subgroup \(U\) に \(\operatorname{Stab}(b)\subseteq U\) なる \(b\in B\) がある（stabilizers が cofinal）．離散群では iff \(B\) が free orbit を持つ．[[j9rqhb]] の反例 \(B=G\)（bound だが \(\xi_G\) は非 epi，\(\operatorname{im}\xi_G=\{1\}\)）を回収する． 4. \(\xi_B\) epi ⇒ bound（\(\le_\Xi\) の反射性）．逆は偽（3）．任意の Grothendieck topos は \(\xi_B\) が epi な bound を持つ：\(B=\coprod_c\coprod_{q\in\Xi_0(c)}E_q\)（coproduct injection が mono で \(\operatorname{orb}\) が mono 上で定数なので \(\operatorname{im}\xi_B\supseteq\operatorname{im}\eta_{\Xi_0}\)）． ## Slogan bound とは「どの local state も，局所的には \(B\) のある元の state まで unfold できる」対象．[[j9bcyf]] の「\(\bot\) の存在 = 最大限の展開を globally に選べる」と並べると，étendue では bound は「最大展開状態の元が locally に存在する対象」になる（系 2）． ## Verification 2026-09-07 に別の Claude subagent が adversarial に査読：定理・各 Lemma は正しいと判定，系 1 の誤った言い換えを訂正，系 2 の étendue ラベルを [[j9bcyf]] 依存として明記，系 3 の \(\Xi_0\neq\Xi\) を明記．\(\mathbf{Set}\)，localic，前層，\(G\text{-}\mathbf{Set}\)，\(M=\{1,z\}\)（\(z^2=z\)），連続 \(G\)-sets で直接計算と照合済み． ## 未解決・次の一手 - **相対版**：base topos \(\mathcal S\) 上 bounded な \(\mathcal E\) で，LSC が存在するとき同じ特徴づけが成り立つか．LSC の存在自体が [[nfrbb5]]・[[mhv4sn]] の未解決問題なので，まず embedding case（Nivar の \(\Xi_j\)）で検証するのが自然． - **新規性**：「subobjects of \(B\) が generating family」は既知の言い換えなので，貢献は \(\Xi\) による内在化の部分．文献確認未実施． - **top の記述**：\(\Xi_0(c)\) の top は \(ay(c)\twoheadrightarrow1\) ではなく \(ay(c)\twoheadrightarrow\operatorname{supp}(ay(c))\)（\(=\xi_1\)）．[[j9rqhb]] 等で「terminal quotient」と書いた箇所はこの意味に読む．