Game of Life relative topos
## Trigger
chatgptで講演 *A space⋊time for Conway’s Game of Life* を構成した際，Game of Lifeを単なるself-mapではなく，離散時間の基礎トポス上のrelative toposに置く案を定式化した．後のhigher/topological dynamical topos構想 [[skbh5u]] の具体的prototypeである．
## Idea
離散力学系のトポスを
[
mathbf{dSet}=mathbf{Set}^{Bmathbb N}
]
とする．(mathbb Z^2) の区間／局所領域を表すsite ((mathbb Z^2,mathrm{Int})) 上のdynamical presheavesからrelative topos
[
mathbf{dPSh}(mathbb Z^2,mathrm{Int})longrightarrow mathbf{dSet}
]
を作る．内部対象 (mathrm{GoL}) は各空間領域にその局所configurationと時間発展を割り当てる．global-space directionを忘れるdirect image (gamma_*) が通常のLife evolution
[
mathrm{con}:mathcal P(mathbb Z^2) omathcal P(mathbb Z^2)
]
を回収するよう
[
gamma_*(mathrm{GoL})cong mathrm{con}
]
を証明する．
## Goal
Game of Lifeを「時間発展する空間概念」としてrelative toposに内部化し，局所pattern，glider，periodic object，quotient／local state classifierを同じ幾何に置く．site (mathrm{Int}) と(gamma)の厳密な定義，sheaf conditionと更新規則の両立が要検証．