box積はDay convolutionか

## Trigger Notion「研究テーマ」DBの `Games as recursive coalgebras` ページ（arXiv:2510.22886 の作業メモ）に残っていた未展開のアイデアから瓶化した。原文は「box-productをDay convolutionとして実現できないか？ωやℕで考える。chainのテンソルとも似てる。2rigにしたいなら、speciesとパラレルに！」および「やりたいことはtopos of treesのDay convolutionみたいなものとの比較だし、実際随伴作っちゃいたい」。 ## Idea \(\mathbf{Game}\) 上の box product（Conway addition を与える monoidal 構造）を、ある small monoidal category 上の Day convolution として実現できるかを問う。 Day convolution は small monoidal category \(\mathcal A\) に対し前層圏 \([\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]\) へ monoidal 構造を誘導する。\(\mathbf{Game}\) が前層圏あるいはその reflective 部分圏として書けるなら（この点は [[Gameの圏はtoposか]] の問いと繋がる）、box product が \(\mathcal A\) の monoidal 構造から Day convolution として誘導されるかを問える。 原メモが挙げる比較対象は次の三つ。 - \(\omega\) や \(\mathbb N\) を添字に取ったときの chain のテンソル - topos of trees の Day convolution - species の圏。\([\mathbb B,\mathbf{Set}]\) 上の Day convolution が species の積を与えるのと同じ形で、2-rig 構造を作るならこれとパラレルに構成する ## Goal box product が Day convolution として書けるかを決定する。書けるなら、添字圏 \(\mathcal A\) とその上の monoidal 構造を同定する。そのうえで、Conway addition の右随伴（[[g6c8vx]] の internal hom）が Day convolution の閉構造として自動的に出るかを確かめる。 ## Personal context [[tauvfv]] は「\(\mathbf{Game}\) 上の monoidal closed structures を全分類せよ」という問いだが、こちらは「既知の box product を Day convolution という具体的な手段で構成できるか」という構成の問いであり、分類問題への攻め口になる。また [[g6c8vx]] は internal hom の具体形を cofree game の部分として探しているが、Day convolution の一般論から閉構造が出るなら別ルートでの記述が得られる。 （追記）本文中の `[[Gameの圏はtoposか]]` はタイトルでの参照になっている。uid での正しい参照は [[ept4jm]] である。 ## species と differential 2-rig の材料（2026-08-16 追記） 原メモの「2rig にしたいなら、species とパラレルに！」に対応する既知の結果が hora-tex に記録されていた。出所は `papers/differential-calculus-games/study-2026-07-28/19-differential-calculus-of-games.md`。 - Loregian--Trimble, *Differential 2-rigs* ([arXiv:2103.00938](https://arxiv.org/abs/2103.00938)) は differential 2-rig を定義し（Def. 4.1）、1生成元上の free differential 2-rig を与える（Thm. 5.16）。そこでは「ある colored species の圏が1生成元上の free differential 2-rig である」ことが示されている - substitution / plethystic product に対する chain rule も同論文にある（Rem. 5.3、Thm. 5.18、証明は Appendix B） - Joyal 1981（Adv. Math. **42**(1):1--82）の Proposition 5 が species の Leibniz rule にあたる したがって「species とパラレルに 2-rig を作る」という筋は、Loregian--Trimble の free differential 2-rig の構成と直接比較できる。box product が Day convolution として書けたとき、それが colored species 側の構成とどう対応するかが具体的な問いになる。 ## 2026-08-26 AI研究監査：reflected Day convolution $\mathcal A=\mathbf{Game}_{\mathrm{fp}}$ を finitely presentable games の小 skeleton，$N:\mathbf{Game}\to[\mathcal A^{op},\mathbf{Set}]$ を restricted Yoneda， \[ L(P)=\int^{A\in\mathcal A}P(A)\cdot A \] をその左随伴とする．$\star$ が各変数で cocontinuous で finitely presentable games を保つ tensor なら，$\mathcal A$ 上の制限から Day convolution $\star_{\mathrm{Day}}$ が定まり， \[ L(P\star_{\mathrm{Day}}Q)\cong L(P)\star L(Q), \qquad X\star Y\cong L(NX\star_{\mathrm{Day}}NY) \] が自然に成り立つ．証明は Day convolution の coend 展開と cocontinuity： \[ \int^{A,B}P(A)\times Q(B)\cdot(A\star B) \cong \left(\int^AP(A)\cdot A\right)\star \left(\int^BQ(B)\cdot B\right). \] したがって box product / Conway addition は Game 自身を前層圏と同一視した literal Day convolution ではない（Game は topos でない）が，Gabriel--Ulmer の reflective presentation を通した canonical reflected Day convolution である．