力学系トポスの商とcohomology
## Trigger
chatgptで洞が，離散力学系トポス
[
mathbf{Set}^{Bmathbb N}
]
のcohomologyを計算し，そのhyperconnected quotientのcohomologyとの関係をspectral sequenceで調べるよう提案した．
## Idea
(mathbb N)-action ((M,T)) を係数とすると，標準resolutionから
[
H^0(Bmathbb N;M)=ker(T-1),qquad
H^1(Bmathbb N;M)=operatorname{coker}(T-1),qquad
H^n(Bmathbb N;M)=0quad(nge2)
]
を基準計算とする．
hyperconnected quotient (q:mathcal E omathcal H) ごとに，global sectionsの合成に対するGrothendieck/Leray spectral sequence
[
E_2^{p,q}=H^p(mathcal H,R^q q_*M)
Longrightarrow
H^{p+q}(mathcal E,M)
]
を構成し，quotientを分類するgenerative orderや対応する(mathbb N)-actionのrelationから (R^q q_*M) を明示する．cohomological dimensionが1であることにより，どこまで短完全列へ退化するかを調べる．
## Goal
離散力学系トポスのhyperconnected quotientsを，既存の分類だけでなくcohomology変化で比較する．最初の課題は，分類済みquotientそれぞれについて(q_*)とそのderived functorsを具体化し，spectral sequenceの仮定とvarianceを厳密に確認することである．