Dyckのprodiscrete二義性
## Trigger
*Topoi of automata II* の conjecture「任意の language class \(C\) に対し \(\mathcal T(C)\simeq\mathbf{Cont}(M_C)\) となる canonical prodiscrete monoid \(M_C\) がある」を，Morgan Rogers の topological monoid action topos の構成と本文の Dyck exampleで監査した．
## Result
\(\Sigma=\{a,b\}\)，\(D\) を Dyck language，\(F_D\subseteq\Xi\) を syntactic topos \(\mathcal T(D)\) の internal filter とする．すると
\[
F_D\cap\Xi^2=\{\top\}.
\]
したがって，\(\mathcal T(D)\) を表現する prodiscrete monoid \(P\) と dense monoid homomorphism \(\Sigma^*\to P\) は存在しない．よって「任意の \(C\) で prodiscrete」は偽である．
一方，Rogers の canonical constructionは internal filter全体を使う inverse limit
\[
M_F:=\varprojlim_{\rho\in F}U(\Sigma^*/\rho)
\]
であり，各 \(\Sigma^*/\rho\) は discrete **set** として使われる．thread \(\alpha,\beta\) の積は
\[
(\alpha\beta)_\rho=[a_\rho b_{\rho*a_\rho}]_\rho
\]
で与えられる．この \(M_F\) は dense imageをもつ complete powder monoidで
\[
\mathcal E_F\simeq\mathbf{Cont}(M_F).
\]
prodiscreteになる必要十分条件は \(F\) が two-sided congruences の basisをもつことである．
language class \(C\) については次が同値である．
1. \(\mathcal T(C)\) が prodiscrete monoid action toposとして表示できる．
2. \(F_C\) が two-sided congruences の basisをもつ．
3. 各 \(L\in C\) の syntactic congruence
\[
\equiv_L=\bigwedge_{w\in\Sigma^*}(\sim_L*w)
\]
が \(F_C\) に属する．
特に \(C\subseteq\mathrm{Reg}\) なら成立し，representing monoidは profinite．一文字 alphabetでもすべての right congruenceがtwo-sidedなので成立する．
## Dyck proof
Dyck filterは有限集合 \(S\subseteq\mathbb N\) に対する finite meets
\[
\tau_S=\bigwedge_{k\in S}\sim_k
\]
の upward closureで生成される．\(\sigma\in F_D\cap\Xi^2\) とし，\(n=\max S\) で \(\tau_S\leq\sigma\) とする．quotient monoidで \(\alpha=[a]\)，\(\beta=[b]\) と置くと，有限深さの同一視から
\[
\beta^{n+1}=\beta^{n+1}\alpha,\qquad
\beta^{n+1}=\beta^{n+2},\qquad
1=\alpha^{n+1}\beta^{n+1}
\]
を得る．第一式と第三式から \(\alpha=1\)，さらに第二式と第三式から \(\beta=1\)．よって quotient monoidは trivialで \(\sigma=\top\)．
仮に prodiscrete \(P=\varprojlim_iP_i\) が \(\mathcal T(D)\) を表すなら，各 projection kernel \(\ker(\Sigma^*\to P_i)\) は \(F_D\cap\Xi^2\) に属するためすべて \(\top\)．従って \(\Sigma^*\to P\) は trivialとなり，Dyckをrecognizeできない．矛盾．
## Concrete representing monoid
Dyckの syntactic monoidは bicyclic monoid
\[
B=\langle\alpha,\beta\mid\alpha\beta=1\rangle.
\]
Rogers completionは概念的に
\[
B\sqcup\{\infty\}
\]
で，\(\infty\) は absorbing，その neighborhood basisは
\[
U_k=\{\infty\}\cup\{\beta^i\alpha^j\mid i>k\}.
\]
これは jointly continuousな complete powder monoidで \(\mathbf{Cont}(B\sqcup\{\infty\})\simeq\mathcal T(D)\) だが，非自明な open two-sided congruenceを持たず prodiscreteでない．
## Significance
non-locally-finite側で失敗する本質は「finite meetしか許されない filter」と「syntactic congruenceを得るために必要な infinite meet」の差である．regular/orbit-finite側では orbitが有限なのでこの差が消え，powderはprofiniteへ退化する．Dyckはこの境界を完全に可視化する running exampleである．
## Goal
現行原稿の prodiscrete conjectureを削除し，Rogersの complete powder construction，two-sided-basis criterion，Dyck counterexampleを theoremとして置き換える．
## Correction: two meanings of prodiscrete
ここで `prodiscrete monoid` という語には区別すべき二つの意味がある．
1. **algebraic / strict sense**: discrete monoids の projective limitとして TopMon 内で得られる monoid（Rogers, Definition 2.19）．各 coordinate projection は monoid homomorphismである．
2. **topological sense**: topological monoid whose underlying topological space carries a prodiscrete topology，すなわち discrete sets の projective limit topologyをもつもの．coordinate objects は monoidsである必要がない．
Rogers の canonical completion
\[
L_F=\varprojlim_{\rho\in F}U(\Sigma^*/\rho)
\]
は任意の internal filter \(F\) に対して **常に後者**である．Rogers の Theorem 3.20 は canonical representative が prodiscrete topologyを持つと述べ，Remark 3.21 はそれが一般には Definition 2.19 の意味での prodiscrete monoidではないことを区別している．
従って上の Result の「Dyckを表現する prodiscrete monoid は存在しない」は，**Definition 2.19 の strict senseに限った主張**として読む．Dyck syntactic toposは，underlying topologyが prodiscreteな complete powder monoid \(B\sqcup\{\infty\}\) によって実際に表現される．失敗するのは「discrete monoids の pro-object」としての表示であり，「prodiscrete topologyを持つ topological monoid」としての表示ではない．
この区別により，現行原稿の conjectureは用語を定義すれば次のように整理される．
- weak/topological senseでは任意の language classに対して真（Rogers construction）．
- strict/algebraic senseでは two-sided congruence basisを持つ場合に限り真で，Dyckは反例．
- regular/orbit-finiteの場合はさらに profinite monoidになる．