Compact rieg no-go

Trigger

Connected compact Hausdorff riegs が問う connected compact Hausdorff rieg の存在問題を，Rieg theory: the research programme の rieg theory の指数法則と compact semigroup theory から攻めた．connectedness より強い結論として，加法が cancellative な場合を完全に排除できる．

Result

定理（compact cancellative rieg no-go）． compact Hausdorff topological rieg $R$ の additive commutative monoid $(R,+,0)$ が cancellative なら

$$\boxed{R\cong 1.}$$

connectedness は仮定しなくてよい．

Lemma

compact Hausdorff commutative cancellative topological monoid $(S,+,0)$ は abelian topological group である．

Proof of Lemma

まず任意の nonempty compact semigroup が idempotent を持つことを示す．nonempty closed subsemigroups の descending chain は compactness により nonempty intersection を持つので，Zorn lemma により minimal nonempty closed subsemigroup $K$ を取れる．

$a\in K$ とする．$a+K$ は nonempty closed subsemigroup なので minimality より $a+K=K$．従ってある $x\in K$ があり $a+x=a$．

$$E=\{x\in K\mid a+x=a\}$$

は nonempty closed subsemigroup なので $E=K$．特に $a\in E$ であり $a+a=a$．従って idempotent が存在する．

任意の $s\in S$ に対し，positive multiples $\{ns\mid n\ge1\}$ の closure は compact subsemigroup なので idempotent $e$ を含む．cancellativity と

$$e+e=e+0$$

から $e=0$．従って $n_i s\to0$ となる net がある．compactness により $(n_i-1)s$ の subnet はある $t$ に収束し，continuity から

$$s+t=\lim n_i s=0.$$

よって各 $s$ は additive inverse を持つ．

Proof of Theorem

補題より $(R,+,0)$ は abelian group であり，$1$ の additive inverse $-1$ が存在する．rieg の指数法則

$$x^{y+z}=x^yx^z, \qquad x^0=1, \qquad x^1=x$$

に $y=1,z=-1$ を代入すると

$$1=x^0=x^{1+(-1)}=x^1x^{-1}.$$

ここで $x=0$ とすると，rig の absorption により

$$1=0^1 0^{-1}=0.$$

従って $R$ は one-element rieg である．

Consequence

非自明な connected compact Hausdorff rieg が存在するとしても，その additive monoid は必ず genuinely noncancellative である．従って探索すべき対象は compact rings の類似ではなく，

• idempotent addition，
• absorptive addition，
• order-theoretic addition

を持つ構造である．

Status

no-go theorem は証明済み．元の存在問題は noncancellative case に縮約された．compact semigroup の idempotent theorem との文献上の比較は必要だが，rieg への帰結は短く明確である．

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