Survey: Internal hom for Conway addition

3-line Summary

• Hora は impartial games を finite-powerset functor の recursive coalgebras として組織し、その圏 $\mathbf{Game}$ が locally finitely presentable、かつ Conway addition に関して symmetric monoidal closed であることを示している。
• closedness の証明は adjoint functor theorem による存在証明であり、論文の Question 5.7 は Conway addition に対応する internal hom の明示的構成を問う。公式 Problems 5.0.5 にも同じ問いが掲載されている。
• 同論文の cofree game の式から、internal hom を $R(\operatorname{Set}(UG,UH))$ の部分gameとして書く候補を導ける。今後の核心はこの候補の普遍性の検証・簡約と、Joyal型の player-switching との関係である。

Current public status

• arXiv:2510.22886 の Question 5.7 と現行の公式 Problems ページで未解決問題として公開されている。
• issue #43 の下書きには共著者名が記されていたが、2026-07-10に確認した arXiv:2510.22886 の著者表示は Ryuya Hora 単著である。本サーベイでは公開版の書誌情報を採用した。
• 下記の cofree-subgame formula は本サーベイで既存定理から導いた候補であり、原論文に internal hom の解答として記載されたものではない。著者による検証前なので result とは扱わない。

1. Hora, Games as recursive coalgebras

書誌情報

• Ryuya Hora, Games as recursive coalgebras, arXiv:2510.22886, submitted 2025-10-27.
• https://arxiv.org/abs/2510.22886

一致した概念

• impartial game を $\mathcal{P}_{\mathrm f}$-coalgebraから得られる recursive coalgebra として扱い、それらの圏 $\mathbf{Game}$ を構成する。
• Conway addition は Definition 2.10 で定義され、symmetric monoidal closed structure を与える（Proposition 4.2）。
• $\mathbf{Game}$ は locally finitely presentable である。より一般に、Set 上の cartesian monoidal structure を持ち上げる monoidal structure は、各変数で余極限を保存することと adjoint functor theorem により monoidal closed になる（Corollary B.11）。
• Question 5.7 は「Conway addition に関する internal hom は何か」と問い、存在は抽象的に分かるが明示的構成は不明とする。
• cofree game $R(S)$ は $S$-labeled hereditarily finite sets として明示される（Proposition B.14）。この結果を internal hom の表現問題へ適用すると、次の候補が得られる。

Cofree-subgame formula（本サーベイの導出候補）

$S=\operatorname{Set}(UG,UH)$ とする。$R(S)$ の position は $S$-labeled hereditarily finite set $t=(T,a)$ であり、$T$ は有限個の子position、$a:UG\to UH$ はラベルである。$A(G,H)\subset R(S)$ を、各positionとその全子孫について

$$\theta_H(a(g)) =\{a(g')\mid g'\in\theta_G(g)\} \cup\{a_{t'}(g)\mid t'\in T\} \quad(g\in UG)$$

を満たす最大の部分gameとする。すると $\operatorname{ev}(g,t)=a(g)$ は $G+A(G,H)\to H$ の game morphism になる候補である。

任意の game morphism $f:G+K\to H$ に $a_k(g)=f(g,k)$ を対応させ、Proposition B.14 の cofree transpose $K\to R(S)$ を取る。$f$ が game morphism である条件を展開すると、その transpose が $A(G,H)$ に入る条件と一致するように見える。これを両向きに厳密化できれば

$$\mathbf{Game}(G+K,H)\cong\mathbf{Game}(K,A(G,H))$$

が従い、$A(G,H)$ が求める internal hom になる。

関係の種類

問題の直接の出典、既知の存在定理、および比較方針。

根拠の強さ

定理・系・Question 5.7 の本文に基づく直接的な一致。

確信度

高い。internal hom が存在することと、公開論文がその明示的構成を未解決としていることは明記されている。

次のアクション

上の cofree-subgame formula について、evaluation が morphism になることと transpose/factorization の同値を形式的に証明する。その後、小さい有限gamesで計算して式を簡約する。

2. Kapulkin–Kershaw, Closed symmetric monoidal structures on the category of graphs

書誌情報

• Krzysztof Kapulkin and Nathan Kershaw, Closed symmetric monoidal structures on the category of graphs, Theory and Applications of Categories 41(23), 2024, pp. 760–784.
• arXiv:2310.00493: https://arxiv.org/abs/2310.00493

一致した概念

• graph category 上の closed symmetric monoidal products を、box product と categorical product の2種類に分類する（Theorem 4.11）。box product の internal hom は明示されている（Proposition 2.5）。
• Hora 論文は graph categories との類似を背景に挙げており、内部homを combinatorial data から記述する際の比較対象になる。

関係の種類

構成手法と隣接圏の比較。$\mathbf{Game}$ の Conway addition に対する直接の解答ではない。

根拠の強さ

graph category における分類定理としては強いが、recursive coalgebras への移植可能性は推論段階である。

確信度

中。対象圏と monoidal product が異なるため、具体的な式を転用できるかは未確認である。

次のアクション

両 graph products の internal hom の頂点・辺の定義を、games の positions・moves の候補に翻訳できるか比較する。

3. Joyal, Remarks on the Theory of Two-Player Games

書誌情報

• André Joyal, Remarques sur la théorie des jeux à deux personnes, Gazette des sciences mathématiques du Québec 1(4), 1977, pp. 46–52.
• Robin Houstonによる英訳: https://bosker.wordpress.com/wp-content/uploads/2010/12/joyal-games.pdf

一致した概念

• partisan game の opposite $-G$ は Left と Right の役割を交換する。
• Joyal の strategy category では $G\to H$ の morphism を $H-G=H+(-G)$ における winning strategy として定める。
• この duality により category は compact closed になり、internal hom に相当する game は $-G+H$ で表される。

関係の種類

古典的な比較対象。ただし morphism は strategy であり、Hora の $\mathcal P_{\mathrm f}$-coalgebra homomorphism（path-lifting map）とは異なる。

根拠の強さ

原論文の game opposite・sum・strategy-category の定義に基づく直接的な一致。

確信度

高い。式そのものは明確だが、Hora の category への移植は未証明である。

次のアクション

cofree-subgame formula のpositionに、$-G+H$ の copy-cat / player-switching strategyに相当する情報がどう符号化されるか調べる。

4. Honsell–Lenisa–Redamalla, Categories of Coalgebraic Games

書誌情報

• Furio Honsell, Marina Lenisa, and Rekha Redamalla, Categories of Coalgebraic Games, MFCS 2012, LNCS 7464, pp. 503–515.
• 著者公開PDF: https://users.dimi.uniud.it/~marina.lenisa/Papers/Soft-copy-pdf/mfcs12.pdf

一致した概念

• possibly non-wellfounded games を final coalgebra の要素として扱い、sum・negation・linear implication を final morphisms で定める。
• linear implication を sum と negation から構成する（Definition 10）。well-founded games と winning strategies の full subcategory は compact closed であり（Theorem 4）、Joyal の category を回収する（Corollary 2）。

関係の種類

coalgebraic games における direct formula と strategy semantics の先行研究。ただし対象は final coalgebra の要素、射は strategies であり、Hora の recursive coalgebras と coalgebra homomorphisms の圏とは別である。

根拠の強さ

定義・定理レベルの直接的な一致。

確信度

高い。今回の category との差異を保った比較が必要である。

次のアクション

同論文の linear implication の coalgebra equation と cofree-subgame formula を並べ、同じ recursive pattern と strategy固有の player labelsを分離する。

5. Altman–Lipparini, A Ring structure on the Class of Combinatorial Games

書誌情報

• Harry Altman and Paolo Lipparini, A Ring structure on the Class of Combinatorial Games, arXiv:2604.27847, submitted 2026-04-30.
• https://arxiv.org/abs/2604.27847

一致した概念

• partizan combinatorial games に通常より細かい equivalence relation を導入し、その同値類の上で加法と乗法が可換環を成すことを示す（Theorem 4.7）。
• Conway 型の演算を扱う点では近いが、商集合上の環構造と、$\mathbf{Game}$ における関手 $G+(-)$ の右随伴は異なる問題である。

関係の種類

近接する代数的研究。競合する解答ではなく、演算と同値関係の選び方を比較する資料。

根拠の強さ

論文の定義と環構造の主定理に基づく。今回の internal hom への否定的区別は、扱う対象と普遍性の相違からの判断である。

確信度

高い。少なくとも論文の主結果は categorical internal hom の明示式ではない。

次のアクション

同論文の equivalence が $\mathbf{Game}$ の morphisms や Conway addition とどの程度両立するかだけを切り分け、internal hom のテスト例に使えるか確認する。

Relation to Hora themes

target	relation	strength	confidence	evidence
Games as recursive coalgebras	問いの直接の研究系列	strong	high	Hora 2025, Question 5.7
Conway addition	internal hom を求める monoidal product	strong	high	Hora 2025 の closedness と公開問題
cofree game	internal hom候補を載せる明示的なambient game	strong	medium	Hora 2025, Proposition B.14からの本サーベイの導出
partisan games	player-switching dualityとの比較候補	strong	high	Joyal 1977; Honsell–Lenisa–Redamalla 2012
graph categories	explicit closed structuresの構成手法候補	medium	medium	Kapulkin–Kershaw 2024
ring structure on games	Conway型演算を扱う隣接研究	weak	high	Altman–Lipparini 2026

使った検索語と検索先

• "internal hom" "Conway addition"
• "Games as recursive coalgebras" internal hom
• "Categories of Coalgebraic Games" linear implication
• Joyal two-player games compact closed internal hom
• site:arxiv.org combinatorial games ring structure
• arXiv abstract / TeX source、Hora公式 Problemsページ、issue #43

gaps

• cofree-subgame formula の普遍性はまだ著者による検証を経ていない。
• formula を小さい有限例で計算・簡約する作業は未実施。
• arXiv:2510.22886 を引用する後続研究の網羅的な citation graph は未調査。
• 「公開文献に式が見つからない」ことだけを新規性の証拠とはしない。

免責

これは機械の提案であり、洞の確認と数学的検証を経ていない。

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  author = {hora},
  title = {{AI survey report (2026-07-10): Internal hom for Conway addition}},
  year = {2026},
  note = {SUMIRE:2610.00003/10, v3},
  url = {https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/10/v/3}
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