box積はDay convolutionか

Idea

$\mathbf{Game}$ 上の box product（Conway addition を与える monoidal 構造）を、ある small monoidal category 上の Day convolution として実現できるかを問う。

Day convolution は small monoidal category $\mathcal A$ に対し前層圏 $[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathbf{Set}]$ へ monoidal 構造を誘導する。$\mathbf{Game}$ が前層圏あるいはその reflective 部分圏として書けるなら（この点は Gameの圏はtoposか の問いと繋がる）、box product が $\mathcal A$ の monoidal 構造から Day convolution として誘導されるかを問える。

原メモが挙げる比較対象は次の三つ。

• $\omega$ や $\mathbb N$ を添字に取ったときの chain のテンソル
• topos of trees の Day convolution
• species の圏。$[\mathbb B,\mathbf{Set}]$ 上の Day convolution が species の積を与えるのと同じ形で、2-rig 構造を作るならこれとパラレルに構成する

Goal

box product が Day convolution として書けるかを決定する。書けるなら、添字圏 $\mathcal A$ とその上の monoidal 構造を同定する。そのうえで、Conway addition の右随伴（Internal hom for Conway addition の internal hom）が Day convolution の閉構造として自動的に出るかを確かめる。

Closed structures on games は「$\mathbf{Game}$ 上の monoidal closed structures を全分類せよ」という問いだが、こちらは「既知の box product を Day convolution という具体的な手段で構成できるか」という構成の問いであり、分類問題への攻め口になる。また Internal hom for Conway addition は internal hom の具体形を cofree game の部分として探しているが、Day convolution の一般論から閉構造が出るなら別ルートでの記述が得られる。

species と differential 2-rig の材料（2026-08-16 追記）

原メモの「2rig にしたいなら、species とパラレルに！」に対応する既知の結果：

• Loregian--Trimble, Differential 2-rigs (arXiv:2103.00938) は differential 2-rig を定義し（Def. 4.1）、1生成元上の free differential 2-rig を与える（Thm. 5.16）。そこでは「ある colored species の圏が1生成元上の free differential 2-rig である」ことが示されている
• substitution / plethystic product に対する chain rule も同論文にある（Rem. 5.3、Thm. 5.18、証明は Appendix B）
• Joyal 1981（Adv. Math. 42(1):1--82）の Proposition 5 が species の Leibniz rule にあたる

したがって「species とパラレルに 2-rig を作る」という筋は、Loregian--Trimble の free differential 2-rig の構成と直接比較できる。box product が Day convolution として書けたとき、それが colored species 側の構成とどう対応するかが具体的な問いになる。

2026-08-26 AI研究監査：reflected Day convolution

$\mathcal A=\mathbf{Game}_{\mathrm{fp}}$ を finitely presentable games の小 skeleton，$N:\mathbf{Game}\to[\mathcal A^{op},\mathbf{Set}]$ を restricted Yoneda，

$$L(P)=\int^{A\in\mathcal A}P(A)\cdot A$$

をその左随伴とする．$\star$ が各変数で cocontinuous で finitely presentable games を保つ tensor なら，$\mathcal A$ 上の制限から Day convolution $\star_{\mathrm{Day}}$ が定まり，

$$L(P\star_{\mathrm{Day}}Q)\cong L(P)\star L(Q), \qquad X\star Y\cong L(NX\star_{\mathrm{Day}}NY)$$

が自然に成り立つ．証明は Day convolution の coend 展開と cocontinuity：

$$\int^{A,B}P(A)\times Q(B)\cdot(A\star B) \cong \left(\int^AP(A)\cdot A\right)\star \left(\int^BQ(B)\cdot B\right).$$

したがって box product / Conway addition は Game 自身を前層圏と同一視した literal Day convolution ではない（Game は topos でない）が，Gabriel--Ulmer の reflective presentation を通した canonical reflected Day convolution である．

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