Multi-select sumと普遍monoid

Idea

Games $A_1,\dots,A_n$ に対して、それらの multi-select sum（正の有限個の成分を選んでプレイする和）を考える。これは不偏ゲームの monoidal product で、Conway addition に似ている。

問い: この operation に関する普遍的な monoid 不変量（universal monoid invariant）は何か。

原メモの観察・部分結果:

• LN(3,2) は 2山Nim と 1山Nim の multi-select sum なので、universal monoid invariant が分かれば LN(3,2) が解けるはず。
• 予想（原メモ自身が曖昧と注記）: universal monoid invariant は Birthday と Grundy number のペアか？（「しなさそう．いや，するかも」）
• 性質: $1\mathrm{Nim}(n)+1\mathrm{Nim}(m)=1\mathrm{Nim}(n+m)$（一山）、$LN(3,2)(a,b,c)=2\mathrm{Nim}(a,c)+1\mathrm{Nim}(b)$、$X_1+\dots+X_1=\mathrm{Nim}_n$（$X_{n+1}=\{X_n\},\ X_0=0$）。
• Lemma: $A+B$ が P-position $\iff$ $A$ も $B$ も P-position（LN(3,2) のときに観察済み）。よって universal monoid では P-position は全て単位元（後手必勝ゲーム全体のなす同値類）につぶれる。
• universal monoid は群ではない: $\mathrm{Nim}_n$（$n>0$）に何を multi-sum しても単位元になれない（Lemma より）。
• $\{P,N\}$-universal monoid は $\{P,N\}$ 自体。だから本命は Grundy-universal monoid で、単位元も考え直す必要がある。Birthday が関わるかも。
• 「Game Operation and Universal Monoids」という観点からは、パス付き三山ニムの未解決問題も関連しそう。"Recursive aspect" にも注目する。
• 例の候補: Grundy数 / Remoteness / Selective sum + PN / 逆形ゲーム / Selective sum + Grundy / Selective and Conway sum（知りたい）/ パスつき3山Nim（"dependent sum"）。

Universal monoid・recursive coalgebras・monoidal structure を全部駆使したい方向（原メモの結び）。Games as recursive coalgebras 系の公開問題 The Bouton monoid（Bouton monoid）・Closed structures on games（monoidal closed structures）と近い場所にあるが、multi-select sum という別の operation の普遍不変量を問う点で独立した問い。

2026-08-26 AI研究監査：eventual birthday theorem

selective compound を $A\nabla B$，Nim heap を $*k$，$d(A)$ を $A$ からの最大 play 長（birthday/depth）とする．任意の short finite impartial game $A$ について

$$\operatorname{Gr}(A\nabla *k)=k+d(A)$$

が十分大きいすべての $k$ で成り立つ．

証明：$f_A(k)=\operatorname{Gr}(A\nabla *k)$ と置く．$A\nabla*(k+1)$ の option set は $A\nabla*k$ とその全 option を含むので $f_A(k+1)>f_A(k)$．一方 Grundy number は depth 以下だから $f_A(k)\le k+d(A)$．従って $\delta_A(k)=f_A(k)-k$ は非減少かつ $d(A)$ 以下で，最終的に定数 $e$ となる．$d=d(A)>0$ とし depth $d-1$ の option $A'$ を取る．帰納法で $\operatorname{Gr}(A'\nabla *j)=j+d-1$（$j\gg0$）．もし $e\le d-1$ なら $j=k+e-(d-1)\le k$ と置くと $A'\nabla *j$ は $A\nabla*k$ の option であり，その Grundy number は $k+e=f_A(k)$ となって mex に反する．よって $e=d$．

従って selective contexts に関する universal monoid は birthday を検出する：

$$d(A)=\lim_{k\to\infty}(\operatorname{Gr}(A\nabla*k)-k).$$

また $(d,\operatorname{Gr})$ は普遍不変量ではない．$G=\{*2\}$ と $H=\{*1,*2\}$ はともに $(d,\operatorname{Gr})=(3,0)$ だが

$$\operatorname{Gr}(G\nabla*1)=1,\qquad \operatorname{Gr}(H\nabla*1)=4.$$

Bouton monoid 全体の決定には，異なる hereditarily finite games を有限 selective context が必ず分離するか，または collision があるかを決める必要がある．

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