Grundy周期性のprofinite化

Question

有限値列 $g:\mathbb N\to A$ の最終周期性は、各fiber $g^{-1}(a)$ がunary regular languageであることと同値である。これは自由1生成 profinite monoid から有限離散空間 $A$ への連続写像、すなわち有限 clopen 彩色と読める。

この言い換えを Grundy's game の価値列へ適用し、次を問う。

1. Grundy数列が最終周期的であることを、自由profinite monoid上の連続有限彩色の存在として特徴づけられるか。
2. mex再帰は、この連続彩色の空間上でどのような自己作用素または固定点方程式を定めるか。
3. rare/common 分解による「rare values が最終的に消えれば周期性が従う」という既存ルートを、profinite空間上の境界または非連続点の有限性として書き直せるか。

Evidence boundary

finite subtraction game では過去の有限windowが状態になるため、最終周期性とunary Moore machineの対応は標準的である。しかし Grundy's game では同じ有限window論法を使えず、最終周期性自体が未解決である。

profinite化が新しい定理を与えることもまだ示していない。

Goal

まず既知のrare/common定理と計算証拠を一次資料で固定する。次に、最終周期列の標準的profinite特徴のうち、mex再帰に特有の部分だけを切り出す。rare値有限性がその不変量で表せれば、計算実験と代数的形式言語理論を同じ証明義務へ収束させる。

Eventual affine mex則 は別の game operation における eventual affine mex の結果であり、このノートの派生元ではない。両者は「mex再帰が作る最終的な有限状態構造」を比較する実験対象として関連する。