Internal hom for Conway addition

Trigger

Hora, Games as recursive coalgebras の Question 5.7 と公式 Problems 5.0.5 にある公開問題を、issue #43 の下書き10/Nから移した。同論文は、impartial games の圏 $\mathbf{Game}$ 上の Conway addition が symmetric monoidal closed であることを抽象的に示すが、対応する internal hom の具体形は与えていない。

Idea

固定した game $G$ に対し、Conway addition による関手

$$G+(-):\mathbf{Game}\longrightarrow\mathbf{Game}$$

の右随伴 $[G,-]_+$ を、recursive coalgebra として直接記述したい。具体的には $[G,H]_+$ の positions と moves、evaluation

$$G+[G,H]_+\longrightarrow H$$

および currying

$$\mathbf{Game}(G+K,H)\cong \mathbf{Game}(K,[G,H]_+)$$

を直接記述し、その game-theoretic な意味を明らかにする。

Known partial structure

右随伴の存在は、$\mathbf{Game}$ の局所有限表示可能性と $G+(-)$ の余極限保存性から adjoint functor theorem により従う。

さらに cofree game $R(S)$ の明示式から、$S=\operatorname{Set}(UG,UH)$ とした $R(S)$ の部分gameとして internal hom を作る候補がある。position $t=(T,a)$ を「有限個の子position $T$ と関数 $a:UG\to UH$ をラベルに持つ hereditarily finite set」とし、

$$\theta_H(a(g)) =\{a(g')\mid g'\in\theta_G(g)\} \cup\{a_{t'}(g)\mid t'\in T\}$$

を全ての $g$ と子孫positionで満たすものだけを取る。このとき $\operatorname{ev}(g,t)=a(g)$ が evaluation の候補になる。これは本瓶の調査で得た formal reduction であり、普遍性の完全な検証と、より簡潔で game-theoretic な記述が必要である。

Joyal の partisan games では player を交換する双対性を用いた closedness があり、比較対象になる。ただし、impartial games を recursive coalgebras として扱う現在の圏で同じ式がそのまま internal hom を与えるとは限らない。reflexive graphs 上の closed symmetric monoidal structures の分類手法も構成の手掛かりになりうるが、現時点で直接の解答ではない。また、Altman–Lipparini の games の環構造は異なる同値関係による商の上の代数構造であり、この categorical internal hom の問いとは区別する。

Goal

上の cofree-subgame の候補式が currying bijection を与えることを検証し、計算しやすい形へ簡約する。さらに Joyal と coalgebraic strategy categories の $-G+H$ との比較を通して、player-switching duality が recursive-coalgebra morphism の圏でどう現れるかを特定する。

Personal context

これは洞の recursive coalgebra と combinatorial game の研究から直接生じた公開問題である。圏論的な存在証明をゲームとして読める構成に変えることは、この研究系列の次の具体的な一歩になる。

References

• Ryuya Hora, Games as recursive coalgebras (arXiv:2510.22886)
• André Joyal, Remarks on the Theory of Two-Player Games (1977; English translation)
• Furio Honsell, Marina Lenisa, and Rekha Redamalla, Categories of Coalgebraic Games
• Krzysztof Kapulkin and Nathan Kershaw, Closed symmetric monoidal structures on the category of graphs (arXiv:2310.00493)
• Harry Altman and Paolo Lipparini, A Ring structure on the Class of Combinatorial Games (arXiv:2604.27847)
• Ryuya Hora, Problems

2026-08-26 AI研究監査：明示的 internal hom の候補解

$S=\operatorname{Set}(UG,UH)$ とし，cofree game $R(S)$ の position を $t=(T,a_t)$（有限な子集合 $T$ とラベル $a_t:UG\to UH$）と書く．$[G,H]_+$ を，すべての子が再帰的に $[G,H]_+$ に属し，かつ任意の $g\in G$ について

$$\theta_H(a_t(g)) =\{a_t(g')\mid g'\in\theta_G(g)\} \cup\{a_{t'}(g)\mid t'\in T\}$$

を満たす $R(S)$ の部分 game とする．このとき

$$\operatorname{ev}(g,t)=a_t(g)$$

は game morphism であり，自然同型

$$\mathbf{Game}(G+K,H)\cong\mathbf{Game}(K,[G,H]_+)$$

を与える．

実際，$f:G+K\to H$ に対し $a_k(g)=f(g,k)$ と置き，

$$\lambda f(k)=\bigl(\{\lambda f(k')\mid k'\in\theta_K(k)\},a_k\bigr)$$

と再帰的に定めれば，上の等式はちょうど $f$ の coalgebra equation になる．逆向きは evaluation との合成であり，両者が逆であることは cofree adjunction の一意性から従う．

これは Question 5.7 の完全解候補である．新規性と細部は人間による再検証が必要．

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