Closed structures on games

Trigger

Hora, Games as recursive coalgebras のQuestions 5.5 and 5.6と旧HP Problems 5.0.1にある公開問題。created は論文の初公開日を代理値とし、正確な着想日は不明。

Idea

Classify all monoidal closed structures on the locally finitely presentable category of combinatorial games.

This corresponds to Questions 5.5 and 5.6 of the games-as-recursive-coalgebras paper.

Goal

上記のlocally finitely presentable category of combinatorial games上のmonoidal closed structuresを分類する。

Personal context

旧タグは monoidal closed、locally finitely presentable、combinatorial game。旧一覧以後の進展はこの移住では未確認であり、棚卸し待ちとして status: dormant とする。

References

• Ryuya Hora, Games as recursive coalgebras: A categorical view on the Nim-sum

Provenance

• 旧ID: 5.0.1
• 旧分類: formal question
• 旧出典 scripts/site.js 871–880行
• Ideaの2段落は旧HPのstatement / descriptionをそのまま保持した。

2026-08-26 AI研究監査：coordinate-local tensors の完全分類

$S\subseteq\{L,R,B\}$ に対し，$X\star_SY$ の move を，左成分のみ（$L$），右成分のみ（$R$），両成分同時（$B$）のうち $S$ に属する型だけ許すものとする．すると：

• $\star_S$ が associative であることと，$B\notin S$ または $(L\in S\Leftrightarrow R\in S)$ は同値．
• symmetric であることと $(L\in S\Leftrightarrow R\in S)$ は同値．
• 一点終端 game を両側 unit に持つことと $L,R\in S$ は同値．

従って symmetric unital な coordinate-local tensor はちょうど

$$S=\{L,R\}\quad\text{(Conway addition)}, \qquad S=\{L,R,B\}\quad\text{(selective sum)}$$

の二つである．証明は三重積で一つの elementary move がどの座標集合を変えられるかを比較するだけで，associativity failure は $\{L,B\}$ と $\{R,B\}$ に限られる．

これは全 monoidal closed structure の分類ではないが，「move rule が座標ごとに局所的」という自然なクラスでは完全分類である．cofree-subgame internal hom の式も，$B$ を許す場合に simultaneous residual term

$$\{a_{t'}(g')\mid t'\in T,\ g'\in\theta_G(g)\}$$

を加えることで一様に得られる．

2026-08-27 ChatGPT研究継続：strict moduli と lax 境界

AI生成preprint pre-mn7xqk の主定理は，$U\colon\mathbf{Game}\to\mathbf{Set}$ が strict symmetric monoidal となる全 tensor を，finite rooted games 上の admissible rooted transition laws（progress・unit・symmetry・finite associativity）で完全に parameterize する．任意の position が生成する subgame は有限なので，

$$\theta_{X\otimes_\tau Y}(x,y)=\tau_{(\langle x\rangle,x),(\langle y\rangle,y)}$$

で全 games へ一意に延長される．分類空間は effectively closed profinite space で，濃度は正確に $2^{\aleph_0}$．これは named sums の有限列挙ではなく，moduli problem としての完全分類である．任意の分類点に対する internal hom も cofree game の compatible subgame として一様に構成できる．

具体 family では，height-drop tensor $\otimes_S$ の associativity は

$$S\text{ is sum-free}\quad\text{or}\quad S+S\subseteq S$$

と同値．path-length tensor $\otimes_D$ の associativity は $\Lambda_L(D)=\Lambda_R(D)$ と同値．coordinate-local symmetric unital tensor は Conway sum と selective sum の二つだけである．

lax 化については次を得た．

• $U$ が strong monoidal なら comparison bijection に沿う transport で strict case へ還元される．
• tensor carrier が既に $UX\times UY$，射上の作用が $f\times g$ なら，$\operatorname{Nat}(U,U)=\{\mathrm{id}\}$ から lax comparison は恒等写像に強制される．
• unit を外した product-carrier semigroupal structures は，unit equations を除いた rooted laws で完全分類される．
• carrier を自由にした nonunital lax structures は，pointed game $E$ ごとの constant tensor $X\odot_EY=E$ だけで proper class many．
• genuinely lax unital closed tensor は未分類だが，separate cocontinuity により finite games 上の kernel$$X\otimes Y\cong\operatorname*{colim}_{A\subseteq_{\rm fin}X,\,B\subseteq_{\rm fin}Y}A\otimes B$$へ正確に還元される．

CGTとの照合で，最初の exotic tensor $S=\{1\}$ を Nim heaps に制限すると，既知の parameter $p=3$ generalized $n$-dimensional Ryūō Nim，すなわち mixed base $(3,2,2,\ldots)$ の cyclic Nimhoff と一致することが判明した．したがって mixed-radix Grundy formula 自体は新規ではない．新しい点は，この既知 game が rooted-law moduli の自然な stratum として現れ，arbitrary recursive games へ categorical に拡張されることである．

残る主要問題は genuinely lax unital finite kernels の構造的分類，finite/computable Bouton quotient を持つ moduli locus，および singleton drop $S=\{d\}$ と $2$-primary Nimhoff systems の一般則である．

追記（2026-08-27・AI採掘）: Question 5.5 の解決 — strict monoidal 構造は連続体個

2026-04-19〜21 の ChatGPT 会話で Question 5.5 が決着していた。忘却関手 $U:\mathbf{Game}\to\mathbf{Set}$ を strict monoidal にする symmetric monoidal 構造は，$\mathbb N$ 上の monotone total preorder $\preceq$ から birthday 経由で構成でき，互いに異なるものが連続体個ある。上限も $\mathbf{Game}$ の locally finitely presentable 性から $2^{\aleph_0}$ で一致し，closedness は Corollary B.11 により自動である。

さらに $U$ は comonadic で右随伴が $R(\Lambda)=H_\Lambda$（$\Lambda$-labeled hereditarily finite sets）なので，Question 5.5 は $G=UR$ 上の lax monoidal law $m:G\Lambda\times G\Gamma\to G(\Lambda\times\Gamma)$ の分類，すなわち $(\mathrm{Set},\times,1)$ 上の symmetric monoidal comonad 構造の分類と同値である。残る問題は explicit normal form（対称群の equivariance の詰め）だけになった。

検証状態: 会話中の証明であり独立査読は未了。本瓶の他の節（coordinate-local tensors の分類・lax 化）とは相補的で，こちらは carrier を固定しない一般の strict 構造の全体量を決める。

@misc{sumire:2610.00003:5:v1,
  author = {hora},
  title = {{Closed structures on games}},
  year = {2026},
  note = {SUMIRE:2610.00003/5, v1},
  url = {https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/5/v/1}
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