Closed structures on games

Idea

Classify all monoidal closed structures on the locally finitely presentable category of combinatorial games.

This corresponds to Questions 5.5 and 5.6 of the games-as-recursive-coalgebras paper.

Goal

上記のlocally finitely presentable category of combinatorial games上のmonoidal closed structuresを分類する。

References

• Ryuya Hora, Games as recursive coalgebras: A categorical view on the Nim-sum

2026-08-26 AI研究監査：coordinate-local tensors の完全分類

$S\subseteq\{L,R,B\}$ に対し，$X\star_SY$ の move を，左成分のみ（$L$），右成分のみ（$R$），両成分同時（$B$）のうち $S$ に属する型だけ許すものとする．すると：

• $\star_S$ が associative であることと，$B\notin S$ または $(L\in S\Leftrightarrow R\in S)$ は同値．
• symmetric であることと $(L\in S\Leftrightarrow R\in S)$ は同値．
• 一点終端 game を両側 unit に持つことと $L,R\in S$ は同値．

従って symmetric unital な coordinate-local tensor はちょうど

$$S=\{L,R\}\quad\text{(Conway addition)}, \qquad S=\{L,R,B\}\quad\text{(selective sum)}$$

の二つである．証明は三重積で一つの elementary move がどの座標集合を変えられるかを比較するだけで，associativity failure は $\{L,B\}$ と $\{R,B\}$ に限られる．

これは全 monoidal closed structure の分類ではないが，「move rule が座標ごとに局所的」という自然なクラスでは完全分類である．cofree-subgame internal hom の式も，$B$ を許す場合に simultaneous residual term

$$\{a_{t'}(g')\mid t'\in T,\ g'\in\theta_G(g)\}$$

を加えることで一様に得られる．

2026-08-27 ChatGPT研究継続：strict moduli と lax 境界

AI生成preprint の主定理は，$U\colon\mathbf{Game}\to\mathbf{Set}$ が strict symmetric monoidal となる全 tensor を，finite rooted games 上の admissible rooted transition laws（progress・unit・symmetry・finite associativity）で完全に parameterize する．任意の position が生成する subgame は有限なので，

$$\theta_{X\otimes_\tau Y}(x,y)=\tau_{(\langle x\rangle,x),(\langle y\rangle,y)}$$

で全 games へ一意に延長される．分類空間は effectively closed profinite space で，濃度は正確に $2^{\aleph_0}$．これは named sums の有限列挙ではなく，moduli problem としての完全分類である．任意の分類点に対する internal hom も cofree game の compatible subgame として一様に構成できる．

具体 family では，height-drop tensor $\otimes_S$ の associativity は

$$S\text{ is sum-free}\quad\text{or}\quad S+S\subseteq S$$

と同値．path-length tensor $\otimes_D$ の associativity は $\Lambda_L(D)=\Lambda_R(D)$ と同値．coordinate-local symmetric unital tensor は Conway sum と selective sum の二つだけである．

lax 化については次を得た．

• $U$ が strong monoidal なら comparison bijection に沿う transport で strict case へ還元される．
• tensor carrier が既に $UX\times UY$，射上の作用が $f\times g$ なら，$\operatorname{Nat}(U,U)=\{\mathrm{id}\}$ から lax comparison は恒等写像に強制される．
• unit を外した product-carrier semigroupal structures は，unit equations を除いた rooted laws で完全分類される．
• carrier を自由にした nonunital lax structures は，pointed game $E$ ごとの constant tensor $X\odot_EY=E$ だけで proper class many．
• genuinely lax unital closed tensor は未分類だが，separate cocontinuity により finite games 上の kernel$$X\otimes Y\cong\operatorname*{colim}_{A\subseteq_{\rm fin}X,\,B\subseteq_{\rm fin}Y}A\otimes B$$へ正確に還元される．

CGTとの照合で，最初の exotic tensor $S=\{1\}$ を Nim heaps に制限すると，既知の parameter $p=3$ generalized $n$-dimensional Ryūō Nim，すなわち mixed base $(3,2,2,\ldots)$ の cyclic Nimhoff と一致することが判明した．したがって mixed-radix Grundy formula 自体は新規ではない．新しい点は，この既知 game が rooted-law moduli の自然な stratum として現れ，arbitrary recursive games へ categorical に拡張されることである．

残る主要問題は genuinely lax unital finite kernels の構造的分類，finite/computable Bouton quotient を持つ moduli locus，および singleton drop $S=\{d\}$ と $2$-primary Nimhoff systems の一般則である．

追記（2026-08-27・AI採掘）: Question 5.5 の解決 — strict monoidal 構造は連続体個

2026-04-19〜21 の ChatGPT 会話で Question 5.5 が決着していた。忘却関手 $U:\mathbf{Game}\to\mathbf{Set}$ を strict monoidal にする symmetric monoidal 構造は，$\mathbb N$ 上の monotone total preorder $\preceq$ から birthday 経由で構成でき，互いに異なるものが連続体個ある。上限も $\mathbf{Game}$ の locally finitely presentable 性から $2^{\aleph_0}$ で一致し，closedness は Corollary B.11 により自動である。

さらに $U$ は comonadic で右随伴が $R(\Lambda)=H_\Lambda$（$\Lambda$-labeled hereditarily finite sets）なので，Question 5.5 は $G=UR$ 上の lax monoidal law $m:G\Lambda\times G\Gamma\to G(\Lambda\times\Gamma)$ の分類，すなわち $(\mathrm{Set},\times,1)$ 上の symmetric monoidal comonad 構造の分類と同値である。残る問題は explicit normal form（対称群の equivariance の詰め）だけになった。

検証状態: 会話中の証明であり独立査読は未了。このノートの他の節（coordinate-local tensors の分類・lax 化）とは相補的で，こちらは carrier を固定しない一般の strict 構造の全体量を決める。

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