Trigger

chatgptでadditive subtraction Nim (S={s_1,s_2,s_1+s_2}) のsink–wall dualityを検討し，(mathbb Z/pmathbb Z)上のnimber列をmex operatorとrev-mex involutionの力学系として扱う案が生じた．既存のgame differential構造 Differential structures of games から派生する具体問題である．

Idea

[
X={0,1,2,3}^{mathbb Z/pmathbb Z}
]
上に
[
(M_Sf)(x)=operatorname{mex}{f(x-s)mid sin S}
]
を定める．nimber involution (sigma) を
[
sigma(0)=2,quad sigma(2)=0,quad sigma(1)=1,quad sigma(3)=3
]
とし，reflection/translationを組み込んだ
[
(J_bf)(x)=sigma(f(-b-x))
]
を考える．sink–wall予想
[
v_{mathrm{wall}}([x]_p)

sigma!left(v_{mathrm{sink}}([-s_2-x]_p)
ight)
]
を，(M_S)と(J_b)のintertwining relationまたはtime-reversal symmetryとして導出できるかを問う．

Goal

個別のfloor formulaを，有限状態dynamical systemのreversibility／conjugacyとして説明する．まずoperator identityが全(X)で成り立つのか，sink/wall boundary conditionが定めるinvariant subset上だけで成り立つのかを切り分ける．

@misc{sumire:2610.00003:8:v3,
  author = {hora},
  title = {{mex/rev-mex双対力学系}},
  year = {2026},
  note = {SUMIRE:2610.00003/8, v3},
  url = {https://sumire.aiformath.jp/p/2610.00003/n/8/v/3}
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