double categoriesと組合せゲーム

Trigger

ACT 2026でJules Hedgesと、double categories of games、open games、組合せゲーム、進化論的ゲームについて話した。

Julesによれば、gameをdouble categoryとして扱う既存研究には少なくとも次の二つがある。

• Jules Hedges, Morphisms of Open Games
  lensをvertical directionに用い、equilibriumを扱えるdouble categoryを与える。

• Neil Ghani, Clemens Kupke, Alasdair Lambert, Fredrik Nordvall Forsberg, A compositional treatment of iterated open games
  coalgebraを使ってiterated open gamesを扱い、repeated prisoner’s dilemmaを合成的に記述する。

一方で、open games in economicsとcombinatorial gamesは、現在の研究コミュニティではかなり別の対象として扱われている。この分断は、洞の Games as recursive coalgebras とJoyal strategiesをdouble-categoricalに結ぶ研究にとって明確な空白地帯である。

Idea

組合せゲームに特化したdouble category / virtual equipmentを作る。

• objects: recursive coalgebraとしてのgame frames
• vertical arrows: option-preservingかつoption-liftingなcoalgebraic game morphisms
• horizontal arrows: Joyal型のstrategies
• 2-cells: coalgebraic mapsに沿ったstrategy simulations
• companions/conjoints: copycat-through-$f$
• horizontal composition: swivel-chair / interaction-and-hiding

既存のopen gamesのdouble categoryをそのまま特殊化するのではなく、

$$\text{coalgebraic combinatorial game structure} \quad+\quad \text{Joyal strategy semantics}$$

を直接統合する。

これはeconomic game theoryのopen gamesと、Conway–Joyal型combinatorial game theoryの間を埋める構成になる可能性がある。

Relation to P-positions and game semantics

The game semantics of game theory（arXiv:1904.11287）では、combinatorial gameのP-positionを、複数のplayerが協力して外界と戦うゲームにおけるNash equilibriumとして理解する議論があるらしい。

この見方が正しければ、

$$\text{P-position}$$

は単なるrecursive outcome classではなく、

$$\text{internal coalition vs. environment}$$

というopen-game的意味論を持つ。

調べるべき問い：

• P-positionをcoalgebraic invariantとして記述できるか。
• そのP-position conditionは、strategy equipment内のequilibrium-like universal propertyになるか。
• Bouton’s theoremは、そのequilibrium predicateをNim-sumによって計算するintegration theoremと解釈できるか。
• Joyalのwinning strategyとopen gamesのbest-response/equilibriumを同一のdouble-categorical構造で比較できるか。

Evolutionary games and compositionality

単にすべてをlambda termとして符号化しても、それぞれの相互作用のinterfaceやcomposition lawは説明されない。

しかしDawkins的な観点では、economic agents、organisms、genes、memesは同じ世界の中で相互作用している。したがって必要なのは単一のuntyped syntaxではなく、異なるgame semanticsを接続できるheterogeneous compositional frameworkである可能性が高い。

候補：

• virtual double categories / equipments
• decorated or indexed open games
• coalgebraic game frames with varying strategy doctrines
• fibrations of game semantics
• double categories whose objects encode interfaces and whose horizontal arrows encode heterogeneous games
• cybernetic systems combining biological fitness, economic utility, and informational replication

Goal

第一段階では、combinatorial gamesに対するvirtual equipmentを厳密に構成し、既存のopen gamesのdouble categoriesとの比較定理を与える。

第二段階では、P-position、Nash equilibrium、coalgebraic recursion、Bouton’s theoremを同じcompositional languageで関係づける。

最終的には、economic gamesとbiological gamesを同じsyntaxへ潰すのではなく、異なる意味論を保ったまま合成できる「進化論の構造的モデル」へ接続する。

Personal context

これは洞の以下の研究を直接つなぐ。

• Games as recursive coalgebras
• Nim-sumをrecursive coalgebraのintegrationとして見る立場
• Joyal strategiesの圏
• double category / virtual equipment of combinatorial games
• Conway’s Game of Lifeや人工生命への関心
• 理性・生命・制度の創発をcompositionalに理解する目標

David Jaz Myersのcategorical systems theoryとの関係

David Jaz Myersのbook draft Categorical Systems Theory を参照する。Jules Hedgesとの議論では、Julesのdouble-categorical approachは、Myersのcategorical systems theoryにおけるdouble-categorical approachと関係しているらしい、という文脈も得られた。

したがって、この草稿は単なる一般的なsystems theoryの背景ではなく、Julesのopen gamesにおけるdouble-categorical構成が属する系譜と、組合せゲーム側で構成したいdouble categoryあるいはvirtual double categoryを比較するための直接的な参照点として読むべきである。ただし、両者の正確な技術的対応関係は未確認であり、今後、用いるlens、interface、horizontal/vertical morphism、compositionの対応を文献上で検証する必要がある。

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