SmoothSetのLSCはgermsのsheaf
**Status.** unchecked.
## Trigger
Conley index を categorical/topos theoretic に読む計画の中で、smooth sets の local state classifier が何になるかを計算したい。文脈は、Hora の local state classifier と discrete dynamical systems の quotient topos の話を、topological な topoi、特に light condensed sets, Johnstone's topological topos, topos of smooth sets へ拡張すること。
## Idea
\[
\SmoothSet=\Sh(\Eucl)
\]
の local state classifier は
\[
\Xi_{\SmoothSet}
\simeq
a\Xi_0,
\qquad
\Xi_0(U)=\CoSub_{\SmoothSet}(yU)
\cong \Quot_{\SmoothSet}(yU)
\cong \EqRel_{\SmoothSet}(yU).
\]
ここで \(a\) は sheafification。したがって \(\Xi_{\SmoothSet}\) は Euclidean test domain の local quotient germ の sheaf と解釈できる。
localic topos では representable が subterminal なので \(\Xi\simeq 1\) になる。一方、\(\SmoothSet\) では
\[
y\mathbb R(T)=C^\infty(T,\mathbb R)
\]
が多くの plots を持つため、\(\Xi_{\SmoothSet}\) は非自明。例えば
\[
y\mathbb R\twoheadrightarrow y\mathbb R,
\qquad
y\mathbb R\twoheadrightarrow 1
\]
は異なる local states を与える。ordinary point では見えず、
\[
\Xi_{\SmoothSet}(\mathbb R^0)\cong 1
\]
だが、interval や disk 上の plots では非自明になる。
canonical map
\[
\xi_X:X\to \Xi_{\SmoothSet}
\]
は、plot
\[
x\in X(U),
\qquad
\ulcorner x\urcorner:yU\to X
\]
に対し、
\[
\xi_X(x)=
\bigl[
yU\twoheadrightarrow \operatorname{im}(\ulcorner x\urcorner)
\bigr]
\]
を返す。同値関係としては
\[
R_x(T)
=
\{(a,b:T\to U)\mid X(a)(x)=X(b)(x)\in X(T)\}.
\]
特に \(X=yM\) で \(x:U\to M\) が smooth map なら、
\[
R_x(T)
=
\{(a,b:T\to U)\mid x\circ a=x\circ b\}.
\]
Conley index への応用では、smooth index pair
\[
L\hookrightarrow N
\]
の exit-collapse quotient
\[
q:N\twoheadrightarrow N/L
\]
に対し、
\[
N\xrightarrow{q}N/L\xrightarrow{\xi_{N/L}}\Xi_{\SmoothSet}
\]
を付ける。この composite は、plot \(p:yU\to N\) に対して
\[
\Ker\bigl(
yU\xrightarrow{p}N\xrightarrow{q}N/L
\bigr)
\]
を返す。つまり、exit set の collapse が \(U\)-shaped family of states をどう同一視するかを記録する。
collapse relation を形式的に
\[
R_L=\Delta_N\cup(L\times L)
\]
と書けば、plot \(p:yU\to N\) 上の local state は
\[
p^*R_L
\]
である。\(N\setminus L\) の内部では diagonal、\(L\) の内部では total collapse、境界では boundary-collapse singularity になる。
したがって、smooth/topological topos での refined Conley index は
\[
\text{Conley index}
=
\text{exit-collapse quotient}
+
\text{local-state profile}
\]
と読める。localic topos では \(\Xi=1\) なのでこの profile は消えるが、smooth/topological test-object topos では quotient の singularity data が残る。
## Goal
Conley index を単なる pointed homotopy type \(N/L\) としてだけでなく、exit-collapse quotient とその local-state profile
\[
(N/L,\; N\to N/L\to \Xi_{\SmoothSet})
\]
として refine する。これにより、位相力学系・smooth dynamics の Conley index を、local state classifier と quotient topos の文脈へ接続する。
## Personal context
Hora の local state classifier と discrete dynamical systems の quotient topos の話を、topological/smooth な topoi へ拡張するための計算。localic な場合には \(\Xi=1\) で情報が消えるが、smooth sets では non-localic なので quotient singularity data が残るはず、という期待がある。
## Unchecked points
- \(\SmoothSet=\Sh(\Eucl)\) の site choice に依存する可能性を確認する。
- \(\CoSub(yU)\cong\Quot(yU)\cong\EqRel(yU)\) の同一視を、effective quotients の存在として明示的に確認する。
- sheafification 後に identity quotient と total collapse quotient が確実に区別されることを lemma 化する。
- Diff/Chen spaces そのものではなく ambient Grothendieck topos の LSC を計算している、という点を明記する。
- continuation invariance が local-state profile 付きでどこまで保たれるかは未確認。
## Notion からの追記（2026-08-16）
Notion「研究テーマ」DBの `LSCと特異点`（優先度★★★★、進行状況 Not started、coresearcher 欄は空）の本文を、洞の判断でこの瓶へ移す。
> 豊田くんとの話．orbifoldのLSCって特異点を見てない？
本瓶は SmoothSet の \(\Xi\) を local quotient germs の sheaf として見るが、orbifold の場合にその germs が特異点の情報を担っているのではないか、という見立てである。orbifold は局所的に有限群による商として書けるため、local quotient germs はまさにその商のデータにあたる。
（Notion 本文の「豊田くん」は、他ページの coresearcher 欄にある `Toyota` と同一人物と読み、その表記で discussed_with へ入れた。）